Ρεολογία της λιθόσφαιρας (Νόμος του Byerlee, ερπυσμός Peierls, περιβάλλουσες αντοχής ελαστικού ορίου)

Ρεολογία της λιθόσφαιρας

(Νόμος του Byerlee, ερπυσμός Peierls, περιβάλλουσες αντοχής ελαστικού ορίου)

[Να διευκρινισθεί ότι οι όροι, στα αγγλικά, στη Τεκτονική Γεωλογία, deformation (παραμόρφωση) και strain (παραμόρφωση), δεν έχουν ταυτόσημη έννοια. Οι παράμετροι της κινηματικής ανάλυσης της παραμόρφωσης (deformation) είναι:

- translation – μεταφορά – αλλαγή στη θέση,

- rotation – περιστροφή – αλλαγή στον προσανατολισμό,

- dilation – διαστολή – αλλαγή στο μέγεθος και

- distortion – στρέβλωση – αλλαγή στο σχήμα.

Ο όρος “strain” αναφέρεται μόνο για την αλλαγή στο σχήμα, δηλαδή είναι μια παράμετρος της παραμόρφωσης (deformation). Επειδή όμως στη φύση οι άλλες τρείς παράμετροι δεν είναι εύκολα παρατηρήσιμες – προσβάσιμες, η ανάλυση της παραμόρφωσης (strain analysis) επικεντρώνεται στα χαρακτηριστικά της αλλαγής στο σχήμα καθώς τα σωματίδια σ’ ένα πέτρωμα αλλάζουν θέσεις μεταξύ τους. Η απόδοση στα ελληνικά του “strain” είναι στρεβλωτική παραμόρφωση (ο όρος «διαστροφική» αφορά συμπεριφορά προσώπων) ή ανηγμένη παραμόρφωση (παθητική μετοχή του ρήματος ανάγομαι (αρχ.)].

Ακόμη το όριο ελαστικότητας (yield point) είναι το σημείο στην καμπύλη τάσης – στρεβλωτικής παραμόρφωσης (stress-strain) όπου καθορίζει το όριο αντοχής της ελαστικής συμπεριφοράς και την εκκίνηση της πλαστικής συμπεριφοράς (Νόμος Hooke). Οι όροι yield strength/stress (αντοχή/τάση) καθορίζουν την ιδιότητα ενός υλικού το οποίο σε δεδομένη τάση αρχίζει να παραμορφώνεται πλαστικά δηλαδή στο όριο ελαστικότητάς του, όπου είναι το σημείο εκκίνησης της μη-γραμμικής (ελαστική + πλαστικής) παραμόρφωσης].

 

Εισαγωγή

Ρευστό είναι το υλικό σώμα που παραμορφώνεται συνεχώς από την επίδραση διατμητικής τάσης.

Η ρεολογία των πετρωμάτων εξαρτάται από ένα μεγάλο αριθμό δομικών και περιβαλλοντολογικών παραγόντων, συμπεριλαμβανομένων των συσσωματωμένων ορυκτών, την χημική και ρευστή σύνθεση τους, τη θερμοκρασία, τη πίεση, τα τηγμένα τμήματα καθώς επίσης και τις συνθήκες των διαφορικών τάσεων. Ευνόητο είναι, ότι το ίδιο ισχύει και για την ιξώδη συμπεριφορά του εσωτερικού της Γης. Ενώ ο ανώτερος φλοιός, συνήθως, θεωρείται ότι βρίσκεται σε ισορροπία τριβής με ενεργά ρήγματα τα οποία περιορίζουν την αντοχή, εξουδετερώνεται όμως από θερμικά ενεργοποιημένες διεργασίες ερπυσμού που μειώνουν την ιξώδη αντοχή με την αύξηση της θερμοκρασίας και του βάθους.

Κατά την ροή καυτών πετρωμάτων αναπτύσσεται σταδιακά συσσώρευση στρεβλωτικής παραμόρφωσης χωρίς να δημιουργούνται διαρρήξεις ή άλλες ασυνέχειες.

Με στόχο να μελετηθούν οι μηχανικές αντιδράσεις της λιθόσφαιρας σε διαφόρων τύπων δυνάμεων, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η ρεολογία τους, δηλαδή η γνώση του τρόπου ροής των. Η ρεολογία περιγράφει τις αλληλοεπιδράσεις μεταξύ στρεβλωτικής παραμόρφωσης (strain), τάσης (stress) και χρόνου, ή διαφορετικά τις αντιδράσεις των υλικών σε πιέσεις που τους ασκούνται και οι οποίες ποικίλουν σημαντικά, σύμφωνα με τις φυσικές συνθήκες της παραμόρφωσης (deformation), η οποία μπορεί να είναι ή αναστρέψιμη ή μόνιμη. Η αναστρέψιμη παραμόρφωση εκφράζεται ως σχέση μεταξύ στρεβλωτικής παραμόρφωσης και τάσης ανεξάρτητα του χρόνου, όπου αν η τάση σταματήσει να ασκείται, η στρεβλωτική παραμόρφωση μηδενίζεται. Αυτή η κατάσταση χαρακτηρίζεται από ελαστική παραμόρφωση και θερμική διαστολή.

Η μόνιμη παραμόρφωση χαρακτηρίζεται από πλαστική και ιξώδη (viscous) ροή ή ερπυσμό (creep) καθώς επίσης και από εύθραυστη (brittle) παραμόρφωση με σχέσεις που εξαρτώνται από το χρόνο.

Η στρεβλωτική παραμόρφωση και η τάση (strain-stress) εξαρτώνται από τη θερμική δόμηση, το περιεχόμενο του ρευστού, το πάχος των συγκροτημένων στρωμάτων καθώς επίσης και τη χρονική διάρκεια εφαρμογής της δύναμης η οποία αποτελεί σημαντικό παράγοντα.

Η επίδραση της θερμοκρασίας είναι ο κύριος λόγος που η ροή είναι έντονη στο μέσο και κατώτερο φλοιό σε αντίθεση με τον ανώτερο ψυχρό φλοιό ο οποίος έχει την τάση να διαρρηγνύεται, συμπεριφορά η οποία ανάγεται στη μηχανική των πετρωμάτων παρά στη ρεολογία.

Η ελαστικότητα, η πλαστική ευκαμψία και ο ιξώδης ερπυσμός αποτελούν στοιχεία της μηχανικής συμπεριφοράς των γήινων υλικών τα οποία θεωρούνται ότι προσδιορίζουν την διαδικασία ροής στην λιθόσφαιρα και μπορούν να εκφραστούν σε όρους λιθοσφαιρικής αντοχής (strength). Η αντοχή αυτή εκτιμάται ότι ενσωματώνει την παραγόμενη, από το βάθος, τάση και προσδιορίζει τη μέγιστη διαφορική τάση (σ₁-σ₃) όπου ένα υλικό μπορεί να αντέξει κάτω από δεδομένες συνθήκες. Θεωρητικά η παραμόρφωση μπορεί να περιγραφεί με τρεις παράγοντες ρεολογικής συμπεριφοράς: ελαστικότητα, ιξώδη ροή και πλαστικότητα.

Τα πετρώματα και τα ορυκτά αντιδρούν διαφορετικά στη τάση και αυτό εξαρτάται από την κρυσταλλογραφική ανισοτροπία τους, την θερμοκρασία, την παρουσία υγρών, το ρυθμό της στρεβλωτικής παραμόρφωσης και από την πίεση.

Τρία ορυκτά είναι πολύ κοινά στη λιθόσφαιρα, ο χαλαζίας και οι άστριοι στον φλοιό και ο ολιβίνης που ελέγχει την ρεολογία του ανώτερου μανδύα. Ο χαλαζίας παραμορφώνεται με όλκιμους μηχανισμούς στους 300 – 350⁰C που αντιστοιχούν σε 10-12 χλμ. Σε μεγαλύτερα βάθη, οι κύριοι κρυσταλλο-πλαστικοί μηχανισμοί είναι ο ερπυσμός και η διάχυση (diffusion). Οι άστριοι, όμως, με καλούς ανεπτυγμένους σχισμούς (cleavage) συμπεριφέρονται διαφορετικά εξαιτίας της διάρρηξης των παράλληλων σχισμών τους και της συνεπαγομένης δυσκολίας ολίσθησης και αναρρίχησης των εξαρμώσεων (αναλύεται παρακάτω). Έτσι υπόκεινται σε εύθραυστη παραμόρφωση στους ~ 500⁰C και σε βάθη 20-30 χλμ. Ο ολιβίνης γίνεται εύθραυστος σε βάθη ~ 50 χλμ.

Η αντοχή (strength) στον κατώτερο φλοιό εκφράζεται από τις συστατικές εξισώσεις ενώ στον εύθραυστο ανώτερο φλοιό ακολουθεί το νόμο του Byerlee (αναλύεται παρακάτω).

Αν θεωρήσουμε ότι το πέτρωμα είναι ένα συνεχές μέσο αγνοώντας ετερογένειες όπως μικροδιαρρήξεις κοκκώδη περιθώρια ορυκτών και πόρους και επιπλέον θεωρήσουμε ότι οι φυσικές ιδιότητες παραμένουν σταθερές ακόμη κι αν αλλάζουν μέσω του όγκου του πετρώματος, τότε μπορούμε να δεχτούμε ότι απλά μαθηματικά και φυσική περιγράφουν και αναλύουν την παραμόρφωση στο πέτρωμα στα πλαίσια της μηχανικής συνέχειας ή συνεχούς μέσου (continuum mechanics).

Οι ρεολογικές εξισώσεις που περιγράφουν τη σχέση μεταξύ τάσης και στρεβλωτικής παραμόρφωσης, συμπεριφορές χρονικά εξαρτημένων που απορρέουν από την κατάσταση του υλικού, όπως η θερμική ενέργεια, η πίεση των ρευστών στους πόρους, η σύνθεση, η πυκνότητά κλπ. καθώς και από εξωγενείς παράγοντες όπως πίεση, θερμοκρασία, χημικό περιβάλλον κλπ. καλούνται και συστατικές (constitutive) εξισώσεις. Ο όρος “συστατικές” δίνει έμφαση στη φυσική κατάσταση ή στη σύνθεση του υλικού.

Άρα η ρεολογία και η μηχανική της συνέχειας εφαρμόζονται στη ροή των πετρωμάτων, ενώ η μηχανική του πετρώματος εφαρμόζεται κυρίως στον τρόπο με τον οποίο τα πετρώματα αντιδρούν στη τάση με εύθραυστη ρηγμάτωση και διάρρηξη.

Ορισμός της πλαστικής (plastic), όλκιμης (ductile) και εύθραυστης (brittle) παραμόρφωσης.

Με όλκιμες δομές χαρακτηρίζονται τα μεταμορφωμένα πετρώματα στο μέσο και κατώτερο φλοιό, οι οποίες επίσης παρατηρούνται στα εδάφη και σε ακόρεστα ή μερικώς κορεσμένα ιζήματα σχηματίζοντας δομές ανεξάρτητες από την κλίμακα. Έτσι η όλκιμη παραμόρφωση διατηρεί την συνέχεια της αρχικής δομής.

Ο όρος “πλαστικότητα” αναφέρεται στην όλκιμη παραμόρφωση του μέσου και κατωτέρου φλοιού. Επομένως η πλαστική παραμόρφωση, γενικώς, καθορίζεται ως η διαρκής αλλαγή στο σχήμα ή/και στο μέγεθος ενός σώματος χωρίς διαρρήξεις που παράγεται από μια διαρκή τάση πέρα από το όριό ελαστικότητας που οφείλεται σε κινήσεις των εξαρμώσεων.

Εύθραυστή παραμόρφωση παρατηρείται σε μεγάλη κλίμακα σε εύθραυστο καθεστώς (ανώτερος φλοιός) αλλά και σε όλκιμο καθεστώς σε μικροκλίμακα με μηχανισμούς τριβής.

Ελαστική παραμόρφωση

Η παραμόρφωση είναι απολύτως ελαστική όταν σε κάθε φόρτιση ή αποφόρτιση δύναμης παρατηρείται, ανάλογη της τάσης στρεβλωτική παραμόρφωση ή επαναφορά στην αρχική θέση Ένα ελαστικό  γεωλογικό σώμα που παραμορφώνεται στιγμιαία και ανακάμπτει, επανερχόμενο στην προηγούμενη θέση, δεν έχει μνήμη των παρελθουσών παραμορφώσεων και τάσεων. Η ύπαρξη της στρεβλωτικής παραμόρφωσης εξαρτάται από την υπάρχουσα τάση ακόμη κι αν η παραμόρφωση διαρκεί δευτερόλεπτα ή εκατομμύρια χρόνια: η ελαστική παραμόρφωση είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ανατρέψιμη. Σημαντικό είναι να σημειωθεί ότι οι κύριοι άξονες της στρεβλωτικής παραμόρφωσης πρέπει να συμπίπτουν με τους κύριους άξονες της τάσης σε ισότροπα σώματα και ότι η ελαστική ενέργεια η οποία εγκλείστηκε κατά την ελαστική παραμόρφωση πετρώματος μπορεί να απελευθερωθεί κατά τη διάρκεια σεισμού.

Το μοντέλο που προσομοιάζει αυτό τον τύπο παραμόρφωσης αποτελείται από ένα ελατήριο που το ένα άκρο του είναι σε σταθερό σημείο και στο άλλο ασκείται δύναμη. Η γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και στρεβλωτικής παραμόρφωσης, τόσο σε εφελκυσμό όσο και σε συμπίεση γράφεται (νόμος Hooke):

σ = Ε ε = Ε(l-l_o/l_o)     (1)

σ: εφαρμοζόμενη τάση.

ε: εκτατική στρεβλωτική παραμόρφωση, αδιάσταση και ανάλογη της σ

l_o: αρχικό μήκος, l: παραμορφωμένο μήκος.

Ε: μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο Young, αδιάστατο.

Ο λόγος Poisson (υ) εκφράζει την εγκάρσια συστολική παραμόρφωση (ε_d) προς τη διαμήκη επέκταση της παραμόρφωσης (ε_l) και ως  προς την κατεύθυνση της επεκτεινόμενης δύναμης δηλ.: όταν τα σώματα επιμηκύνονται ή βραχύνονται προς μία διεύθυνση τότε συγχρόνως, γραμμικά, βραχύνονται ή επιμηκύνονται αντίστοιχα ως προς τη κατακόρυφη διεύθυνση ή, διαφορετικά, κατά πόσο ένα πέτρωμα εξογκώνεται κατά τη βράχυνσή του:

υ = - ε_d / ε_l        

Η εφελκυστική παραμόρφωση θεωρείται θετική και η συμπιεστική αρνητική. Ο ορισμός του λόγου Poisson περιλαμβάνει αρνητικό πρόσημο ούτως ώστε τα κανονικά υλικά να έχουν πάντα θετικό λόγο.

Ο λόγος Poisson ενός υλικού επηρεάζει την ταχύτητα διάδοσης και της αντανάκλασης των κυματισμών της τάσης. Στις γεωλογικές εφαρμογές, ο λόγος της συμπίεσης προς την κυματική διατμητική ταχύτητα, η οποία εξαρτάται από τον λόγο Poisson, είναι σημαντικός για να αναγνωρίσουμε τη φύση των πετρωμάτων στα βάθη της Γης. Ακόμη αυτός ο λόγος επηρεάζει την απόσβεση της τάσης ως προς την απόσταση, σύμφωνα με την αρχή του Saint Venant ⁽¹⁾ καθώς επίσης και την διανομή της τάσης μεταξύ οπών και ρωγμών.

___________________________________________________________________________________

(1) [..η διαφορά μεταξύ των επιδράσεων δύο διαφορετικών αλλά στατικών ισοδύναμων φορτίων μικραίνει σημαντικά σε επαρκώς μεγάλες αποστάσεις από το φορτίο].

Πλαστική παραμόρφωση

Το ιδανικό πλαστικό σώμα είναι ένα στερεό το οποίο δεν παραμορφώνεται έως ένα κρίσιμο όριο όπου η αντοχή (strength) ισούται με την τάση (stress), καθώς το στερεό δεν δύναται να διατηρήσει τάση μεγαλύτερη από την τιμή του ορίου ελαστικότητας (yield stress) σ_c.

Δεν υπάρχει μόνιμη παραμόρφωση αν η εφαρμοζόμενη τάση είναι μικρή, (μικρότερη από το σημείο ελαστικότητας). Στο σημείο ελαστικότητας μόνιμη και μη αναστρέψιμη παραμόρφωση θα διατηρείται συνεχώς και επ’ αόριστο κάτω από σταθερή ασκούμενη τάση, και επομένως, είναι θεωρητικά εφικτό να έχουμε απεριόριστη πλαστική παραμόρφωση. Το μέγεθος της στρεβλωτικής παραμόρφωσης είναι συνάρτηση του χρόνου και αυξάνεται όσο το όριο ελαστικότητας διατηρείται.

Για την ιδανική πλαστική συμπεριφορά ο ρυθμός της στρεβλωτικής παραμόρφωσης είναι ανεξάρτητος της τάσης και η συστατική εξίσωση όπου η τάση για ροή είναι σταθερή, περιγράφεται ως κριτήριο Von Mises:   σ ≤ σ_c, 

για το οποίο το μέγεθος της τάσης δεν πρέπει να υπερβαίνει το όριο ελαστικότητας. Η συγκεκριμένη τάση είναι η χαρακτηριστική αντοχή (strength) η οποία δεν είναι σταθερά αλλά εξηρτημένη μεταβλητή συνάρτησης των τριών κυρίων τάσεων, της θερμοκρασίας, της πίεσης και της σύνθεσης του υλικού. Ο χρόνος δεν υπάρχει στη παραπάνω εξίσωση καθώς επίσης ούτε η στρεβλωτική παραμόρφωση ούτε ο ρυθμός της συσχετίζονται με τη τάση. 

Το μοντέλο που προσομοιάζει αυτό τον τύπο παραμόρφωσης περιγράφεται ως ένα σώμα (βάρος) επί επίπεδης και τραχείας επιφάνειας (τριβή) ωθούμενο οριζόντια (σώμα Saint - Venant). Όταν η εφαρμοζόμενη δύναμη υπερισχύσει της τριβής το σώμα κινείται έως ότου αποφορτιστεί από τη δύναμη ή εξισωθεί με τη τριβή, όπου και παραμένει στη νέα του θέση.

Έτσι περιγράφεται η σχέση μεταξύ μεταφορικής (translation) παραμόρφωσης και χρόνου, αλλά το σώμα παραμένει αμεταμόρφωτο. Σε αντίθεση, ένα πλαστικό σώμα θα παραμορφωνόταν κάτω από τις ίδιες μεταβλητές. Επομένως η ροή είναι συνάρτηση της τάσης.

Ιξώδης παραμόρφωση

Η ιδανική ιξώδης συμπεριφορά (Νευτώνεια) περιγράφεται καλύτερα με τη ροή των ρευστών σε κατ’ άξονα συμπίεση και αποσυμπίεση. Ο ρυθμός με τον οποίο κινείται εξαρτάται από τη τάση της εφαρμοζόμενης δύναμης. Η αντίδραση του ρευστού ως προς το κινούμενο έμβολο ενός πιστονιού δεικνύει την ιξώδη αντίσταση στη ροή. Όταν αποφορτιστεί η δύναμη το έμβολο δεν επανέρχεται στη αρχική του θέση καθώς η παραμόρφωση είναι μη αναστρέψιμη και μόνιμη. Το μοντέλο που προσομοιάζει αυτό τον τύπο παραμόρφωσης περιγράφεται ως σώμα Newton.

Η ενέργεια που παραμορφώνει ένα γεωλογικό σώμα μετατρέπεται σε θερμική και ως εκ τούτου κάθε σώμα που παρουσιάζει ιξώδη συμπεριφορά εκπέμπει θερμότητα. 

Το ιδανικό ιξώδες σώμα (Νευτώνειο) είναι ασυμπίεστο και ο ρυθμός της στρεβλωτικής παραμόρφωσης είναι ανάλογος της εφαρμοζόμενης τάσης:

σ = η ἐ      (2)

η =σταθερά του ιξώδους

ἐ = ρυθμός στρεβλωτικής παραμόρφωσης ή η παράγωγος ως προς τον χρόνο (dε/dt)

Η παραπάνω εξίσωση δεικνύει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η εφαρμοζόμενη τάση τόσο πιο γρήγορα το γεωλογικό σώμα παραμορφώνεται ή αντίστροφα ένας μεγάλος ρυθμός ροής αντιστοιχεί σε αύξηση του μεγέθους της διατμητικής τάσης, δηλαδή η συνολική στρεβλωτική παραμόρφωση εξαρτάται και από το μέγεθος της τάσης και από το χρονικό διάστημα που αυτή εφαρμόζεται.

Μη γραμμική συμπεριφορά  

Μη γραμμικές συμπεριφορές παρουσιάζουν τα υλικά όταν η σχέση μεταξύ τάσης και στρεβλωτικής παραμόρφωσης δεν είναι γραμμική δηλαδή δεν υπάρχει άμεση αναλογία μεταξύ των.

Η γραμμική ιξώδη συμπεριφορά συνάδει με πετρώματα σε υψηλές θερμοκρασίας (1000-1500°C) και χαμηλούς ρυθμούς στρεβλωτικής παραμόρφωσης (10^-12 - 10^-14/sec) καθώς αυτές οι συνθήκες βρίσκονται στο κατώτερο λιθοσφαιρικό μανδύα. Η ιξώδης συμπεριφορά του ανώτερου μανδύα και των κρυσταλλικών πετρωμάτων είναι πολύπλοκη για δύο λόγους:

α) Το ιξώδες είναι, βασικά, εκθετική συνάρτηση της θερμοκρασίας (εξίσωση Arrhenius⁽³⁾) και μειώνεται ως προς αυτή και

β) Η σχέση μεταξύ τάσης -  στρεβλωτικής παραμόρφωσης είναι μη-γραμμική και η τάση εκφράζεται σε εκθετική δύναμη (n).

Η εξίσωση που περιγράφει τη πιο απλή μη-γραμμική συμπεριφορά είναι:

σⁿ= Â ἐ      (3)

όπου Â: παράμετρος συναρτήσεων του υλικού.

___________________________________________________________________________________

(3) [Η επίδραση της θερμοκρασίας στην ταχύτητα των χημικών αντιδράσεων διατυπώθηκε από τον Arrhenius (Νόμπελ Χημείας 1903) με τη διάσημη εξίσωσή του, η οποία εφαρμόζεται σε πολλούς τομείς της φυσικοχημείας και έχει την μορφή:

k(T): ο ρυθμός αντίδρασης σε θερμοκρασία Τ σε K⁰,

k(Tref): ο ρυθμός αντίδρασης σε θερμοκρασία αναφοράς σε K⁰

Εa : ενέργεια εκκίνησης αντίδρασης,  R: η σταθερά των αερίων.]

Ευνόητο είναι ότι διαγραμματικά σχηματίζεται καμπύλη και λόγω της μη-γραμμικής συμπεριφοράς των πετρωμάτων, χρησιμοποιείται ο όρος του ενεργού ιξώδους (effective viscosity η_eff), το οποίο καθορίζεται ως ο λόγος της διατμητικής τάσης (σ) προς τον ρυθμό της διατμητικής στρεβλωτικής παραμόρφωσης (ἐ) (σχήμα). Το ενεργό ιξώδες είναι συντελεστής του υλικού και όχι ιδιότητα αυτού καθώς εκφράζει την ιξώδη συμπεριφορά κάτω από γνωστές συνθήκες πίεσης, θερμοκρασίας, τάσης και στρεβλωτικής παραμόρφωσης.

Ελαστικο - ιξώδη παραμόρφωση

Τα πετρώματα, καθ’ όλο το εις βάθος εύρος, συνδυάζουν τις ιδιότητες της ελαστικότητας της πλαστικότητας και του ιξώδους. Η στρεβλωτική παραμόρφωσή τους έχει ελαστικές ιδιότητες στην κλίμακα χρόνου των σεισμικών κυμάτων και πλαστικές ή ιξώδεις ή συνδυασμό αυτών στη μεγάλης διάρκειας κλίμακας χρόνου των λιθοσφαιρικών πλακών.

Πετρώματα που συνδυάζουν ιξώδη και ελαστικά χαρακτηριστικά, απεικονίζουν την συμπεριφορά της λιθόσφαιρας όπου παρουσιάζεται ελαστική παραμόρφωση βραχυχρόνια αλλά σταδιακά, σε μάκρος χρόνου αναπτύσσεται ροή.

Ένα ελατήριο και ένα πιστόνι εν σειρά (σώμα Maxwell) προσομοιώνουν την ελαστικο-ιξώδη συμπεριφορά. Αυτή η διάταξη δείχνει ότι το ελατήριο και το πιστόνι υφίστανται την ίδια τάση αλλά η συνολική στρεβλωτική παραμόρφωση καθώς επίσης και ο ρυθμός της, είναι το άθροισμα των δύο παραμορφώσεων. Το μοντέλο ταιριάζει σε μεγάλες τεκτονικές στρεβλωτικές παραμορφώσεις αφού δεν υπάρχει περιορισμός από την ελαστικότητα του ελατηρίου.

Όταν ένα σώμα Maxwell υπόκειται σε τάση ο γραμμικός ρυθμός της στρεβλωτικής παραμόρφωσης (ἐ) αποτελείται από δύο μέρη: α) Το ελατήριο επιμηκύνεται ακαριαία και ελαστικά με ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης ευθέως ανάλογα με τον ρυθμό της τάσης ( ). β)Το πιστόνι ανταποκρίνεται μόνο σε στιγμιαίες εφαρμοζόμενες τάσεις και κινείται με σταθερό ρυθμό ελεγχόμενο από το ιξώδες και για όσο διαρκεί η εφαρμοζόμενη δύναμη. Με τις εξισώσεις (1) και (2) η αντίστοιχη συστατική εξίσωση είναι:

ἐ = (  /Ε) + (σ/η)

Εάν Ε→∞ (το ελατήριο είναι άκαμπτο) το σώμα συμπεριφέρεται όπως ένα ιξώδες για δύναμη που εφαρμόζεται για μεγάλη διάρκεια.

Εάν η→∞  (για μεγάλες ταχύτητες) το σώμα συμπεριφέρεται ελαστικά για δύναμη που εφαρμόζεται για σύντομη διάρκεια.

Σημειώστε ότι, σε αντίθεση με το σώμα Kelvin, η απότομη – ξαφνική εφαρμογή τάσης  θα προκαλέσει στιγμιαία στρεβλωτική παραμόρφωση λόγω της ανεξάρτητης αντίδρασης του ελατηρίου.

Για την περίπτωση της ιδιαίτερα σκληρής ιξώδους συμπεριφοράς, (firmo-viscous) behaviour  αυτή προσομοιώνεται με ένα ελατήριο και ένα πιστόνι σε παράλληλη σύνδεση (σώμα Kelvin).

Όταν μία δύναμη εφαρμόζεται και στο πιστόνι και στο ελατήριο, αυτά κινούνται ταυτόχρονα και η παραμόρφωση είναι ίδια και στα δύο. Πάντως οι τάσεις (πιστόνι – ελατήριο) είναι παράλληλες και το άθροισμά τους δίνει τη συνολική τάση του συστήματος. Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1) και (2) το μοντέλο Kelvin έχει την ακόλουθη συστατική εξίσωση:

σ = Ε ε + ηἐ

Εάν Ε→∞  η ροή είναι ιξώδης.

Εάν η→∞  το υλικό είναι ελαστικό.

Λόγω της παράλληλης διάταξης (πιστόνι – ελατήριο) το σώμα Kelvin χαρακτηρίζεται από πλήρη επαναφορά όταν αποφορτίζεται από την ασκούμενη δύναμη, αλλά το πιστόνι καθυστερεί την ελαστική βράχυνση του ελατηρίου. Η τάση προοδευτικά μειώνεται, κατά την αποφόρτιση, έως ότου όλη η στρεβλωτική παραμόρφωση ανακάμψει χωρίς όμως να εξαφανιστεί αμέσως. Αυτή η συμπεριφορά είναι γνωστή ως μετα-ελαστικό αποτέλεσμα (elastic after – effect). Να τονιστεί ότι η απότομη – ξαφνική εφαρμογή τάσης δεν θα προκαλέσει στιγμιαία στρεβλωτική παραμόρφωση, λόγω της παράλληλης διάταξης (πιστόνι – ελατήριο).

Ανελαστική συμπεριφορά

Αν και η προσεισμική στρεβλωτική παραμόρφωση στον ανώτερο φλοιό είναι κυρίως αναστρέψιμη, η επαναφορά των πετρωμάτων δεν είναι στιγμιαία. Αυτή η συμπεριφορά της μη-πλήρους ελαστικότητας, όπου η στρεβλωτική παραμόρφωση είναι αναστρέψιμη αλλά όχι στιγμιαία (χρονο-εξαρτώμενη) καλείται ανελαστικότητα.

Το μηχανικό μοντέλο προσομοίωσης είναι συνδυασμός των σωμάτων Hooke και Kelvin και αναφέρεται ως σώμα Kelvin – Voigt, όπου σε εφαρμοζόμενη δύναμη προκαλείται μία στιγμιαία ελαστική αντίδραση από το πρώτο ελατήριο. Η διάταση του 2^ου ελατηρίου συγκρατείται από το ρευστό του πιστονιού που είναι παράλληλο μ’ αυτό. Η ροή αποκτά ελαστική παραμόρφωση, με χρονική υστέρηση, λόγω της αντίδρασης του ιξώδους. Αν γίνει αποφόρτιση (απομάκρυνση της δύναμης) παρατηρείται ξανά μία στιγμιαία ελαστική αντίδραση και η στρεβλωτική παραμόρφωση μηδενίζεται ασυμπωματικά.

Η ανελαστικότητα είναι πολύ σημαντική σε μηχανικά προβλήματα πετρωμάτων που σχετίζονται με τη εξόρυξη, με τα λατομεία και την κατασκευή σηράγγων. Η ανελαστική συμπεριφορά συσχετίζεται με αναστρέψιμη χρονο-εξαρτώμενη εσωτερική τριβή, όπου η στρεβλωτική παραμόρφωση απορροφά ενέργεια από σεισμικά και ηχητικά κύματα που διατρέχουν τα πετρώματα. Το μέγεθος αυτής της απορρόφησης εξαρτάται από περιβαλλοντικούς παράγοντες όπως η θερμοκρασία, η πίεση και η συχνότητα των διαδιδομένων κυμάτων. Αυτή η συμπεριφορά αναφέρεται και ως αναστρέψιμος παροδικός ερπυσμός (αναφέρεται και παρακάτω). Η ανελαστική κίνηση της ρευστής φάσης προκαλεί απώλεια ενέργειας από τα διαδιδόμενα, μέσω των πετρωμάτων, κύματα με παράλληλη μείωση της ταχύτητας. Αυτό το φαινόμενο θεωρείται ότι είναι η αιτία της ζώνης χαμηλών ταχυτήτων (LVZ) του ανώτερου μανδύα.

Ελαστικο-πλαστική παραμόρφωση

Η ελαστικο-πλαστική παραμόρφωση προσομοιώνεται από τα σώματα Saint-Venant και Hooke συνδεδεμένα σε σειρά και αναφέρεται ως σώμα Prandtl.

Η τάση κάτω από το επίπεδο αντοχής προκαλεί διάταση στο ελατήριο και το σώμα (βάρος) ωθείται καθώς το όριο ελαστικότητας εξισώνεται με την αντίσταση τριβής και σταθεροποιείται σε νέα θέση όπου το καθεστώς τάσης είναι το ίδιο με αυτό της αρχικής κατάστασης.

Πλαστικο-ιξώδη παραμόρφωση

Το μοντέλο (σώμα Bingham), το οποίο προσομοιώνει αυτό το είδους της παραμόρφωσης και είναι συνδυασμός των μοντέλων Saint-Venant και Newton.

Αν η τάση είναι μικρότερη από το όριο ελαστικότητας του βάρους τότε το μοντέλο θεωρείται άκαμπτο. Αν στο όριο ελαστικότητας (σ_c) εφαρμόζεται επιπλέον τάση (σ - σ_c) στο πιστόνι, τότε η ροή σε πλαστικο-ιξώδες σώμα καθορίζεται ως :

                                      é = 0                        αν σ < σ_c

                                      é = (σ - σ_c)/η           αν σ ≥ σ_c

Ελαστικο-πλαστικο-ιξώδη παραμόρφωση

Αν ένα ελαστικο-ιξώδες σώμα έχει όριο ελαστικότητας, τότε η συμπεριφορά του είναι ελαστικο-πλαστικο-ιξώδη και προσομοιώνονται από ελατήριο, πιστόνι και σώμα βάρους, διατεταγμένα είτε εν σειρά είτε παράλληλα. Η παραμόρφωση κατανέμεται μεταξύ των ανάλογα με τις ιδιότητες τους.

Εφαρμόζοντας μία δύναμη έχουμε, άμεσα, ελαστική παραμόρφωση. Αν αυτή η δύναμη είναι μεγαλύτερη της τριβής του σώματος βάρους, το σύστημα θα αντιδράσει μαζί με το πιστόνι με αποτέλεσμα την πλαστικο-ιξώδη ροή σε σταθερό ρυθμό. Η καμπύλη στρεβλωτικής παραμόρφωσης / χρόνου είναι όμοια σε σχήμα μ’ αύτη της ελαστικο-ιξώδους συμπεριφοράς τόσο στη φάση της φόρτισης όσο και της αποφόρτισης. Η βασική διαφορά είναι ότι η ροή ξεκινά μόνο όταν η εφαρμοζόμενη δύναμη υπερβεί την αντίδραση της τριβής του σώματος βάρους και έτσι ενεργοποιείται το όριο τη πλαστικότητας. Κάτω από αυτό το όριο  υπάρχει μόνο η ελαστική παραμόρφωση όπου η ροή λαμβάνει χώρα ανεξάρτητα από το πόσο χαμηλό είναι το βάρος στο ελαστικο-ιξώδες σώμα. Από αυτή την άποψη τα ελαστικο-πλαστικο-ιξώδη μοντέλα περιγράφουν τις ιδιότητες των πετρωμάτων με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Κριτήρια Διατμητικής Διάρρηξης

Σε θραύση, η κανονική τάση (stress) σ_Ν και η διατμητική τάση (shear stress) σ_S οι οποίες ασκούνται σε πεδίο, συσχετίζονται με τη συνάρτηση

σ_S = f(σ_Ν)         (4)

και πειραματικά έχει δεχθεί ότι στα στερεά ισχύει η εξίσωσή :

σ_S = σ_Ν εφφ

όπου φ είναι η γωνία εσωτερικής τριβής (σ’ αυτή τη γραμμική εξίσωση είναι η κλίση της γραμμής) και ο όρος «εσωτερική τριβή» περιγράφει την ιδιότητα των υλικών να ανθίστανται στην ολίσθηση κατά μήκος της διάρρηξης.

Κριτήριο Coulomb

Ο Coulomb το 1773 πρότεινε ότι ή διατμητική διάρρηξη προκύπτει όταν η διατμητική τάση (σ_S) αγγίζει και υπερβαίνει μία κρίσιμη τιμή και η σχέση (4) εκφράζει το κριτήριο αστοχίας Coulomb ως:

σ_S = c +μ σ_Ν       (5)

όπου c είναι μία σταθερά υλικού γνωστή ως συνεκτικότητα ή διατμητική αντοχή (shear strength),

όπου μ είναι ο συντελεστής εσωτερικής τριβής και για τα στερεά ισούται με: εφφ.

Η εξίσωσή (5) υποθέτει ότι για τη διατμητική διάρρηξη στα στερεά συμβάλλουν δυο παράγοντες:

η θραύση των συνεκτικών δεσμών μεταξύ των σωματιδίων του πετρώματος (ο όρος “c”) και η ολίσθηση τριβής (ο όρος “μ”) αναλογικά με την κανονική συμπιεστική τάση (σ_Ν) καθώς αυτή ασκείται κατά μήκος του πεδίου διάρρηξης. Αυτή η φυσική εξήγηση προβλέπει μία γραμμική αύξηση της αντοχής στα πετρώματα και η οποία συμπίπτει και με πειραματικά δεδομένα, όπως, για τα περισσότερα ιζηματογενή πετρώματα η συμπαγής αντοχή είναι της τάξης των 10-20ΜΡa και για τα κρυσταλλικά 50ΜΡa. Η μέση γωνία της εσωτερικής τριβής (φ) υπολογίστηκε σε 30⁰.

Νόμος του Byerlee

Ο νόμος του Byerlee αφορά τη διατμητική τάση που απαιτείται, η οποία καθορίζεται από το συντελεστή τριβής (μ), ώστε να προκληθεί ολίσθηση μεταξύ πετρωμάτων.

σ_S = μ σ_Ν           (6)

Μία άμεση συνέπια αυτού του νόμου (και του κριτηρίου Coulomb) είναι ότι η απαιτούμενη διατμητική τάση για την ολίσθηση είναι ανεξάρτητη από τις επιφάνειες επαφής και αυξάνει με την κανονικής τάση, επομένως με την ολόπλευρη πίεση.

Σε πειραματικές έρευνες με τάσεις κάτω από 200ΜΡα, η διατμητική αυξάνει σχεδόν γραμμικά με την κανονική και εξαρτάται άμεσα από τον τύπο του πετρώματος αλλά και από την τραχύτητα των επιφανειών.

Ο James Byerlee, Αμερικανός γεωφυσικός καθόρισε, πειραματικά, συγκεκριμένες τιμές διατμητικής τάσης για την ολίσθηση τριβής μεταξύ πετρωμάτων και σε ευρύ φάσμα αυτών.

Ο νόμος Byerlee καθορίζει ότι σε αυξανόμενη κανονική τάση η απαιτούμενη διατμητική συνεχίζει να αυξάνεται, αλλά ο ρυθμός της μειώνεται και τείνει να είναι σχεδόν ανεξάρτητος από το είδος του πετρώματος.

Δημιούργησε δύο εμπειρικές γραμμικές εξισώσεις οι οποίες έχουν τη καλύτερη προσαρμογή σε διάφορες τιμές ολόπλευρης πίεσης. Έτσι σε πιέσεις που αντιστοιχούν στον ανώτερο φλοιό και σε μικρά κρυσταλλικά βάθη, μέχρι 200ΜΡα, η (6) γίνεται:

σ_S = 0.85 σ_Ν          (7)

Με την εφαρμογή της σε Ρ≤5ΜΡa, δηλαδή σε κανονικές συνθήκες τάσης, καθώς και σε Ρ≤100ΜΡa όπου η εξίσωση έχει τη καλύτερη προσαρμογή έλαβε τα παρακάτω διαγράμματα:

Για ολόπλευρες πιέσεις μεταξύ 200 - 2000ΜΡa, η αντοχή της τριβής των πετρωμάτων περιγράφεται καλύτερα με τη παρακάτω εξίσωση που συμπεριλαμβάνει και μία παράμετρο «συνοχής»:

σ_S = 50ΜΡa + 0.85 σ_Ν          (8)

Παρατηρείστε, στο παραπάνω διάγραμμα ότι μόνο μερικά αργιλικά ορυκτά (πχ. ιλλίτης, μοντμοριλλονίτης, βερμικουλιτής) δεν υπακούουν στο νόμο λόγω της σχετικά αυξημένης πίεσης στους πόρους τους.

Ο νόμος του Byerlee ορίζεται κι από τις δύο μαζί (7) και (8) εμπειρικές εξισώσεις και δεικνύει ότι η διατμητική τάση που απαιτείται για να ενεργοποιήσει τριβή ολίσθησης σε προϋπάρχουσες ρηξιγενείς επιφάνειες είναι κατ’ ουσία ανεξάρτητη της σύνθεσης των πετρωμάτων. Αυτές οι εξισώσεις φαίνεται να ισχύουν σε κανονικές τάσεις μέχρι 1500ΜΡa και θερμοκρασίες έως 400⁰C, όπου και καθορίζεται ένα κατώτερο όριο της εύθραυστης λιθόσφαιρας.

Κριτήριο Tresca

Το κριτήριο της μέγιστης διατμητικής τάσης, κριτήριο Tresca, ορίζει ότι η διαφορική τάση (σ₁-σ₃) και η μέγιστη κύρια τάση είναι μικρότερες από την πλαστική. S είναι η τιμή της διατμητικής αντοχής από όπου ξεκινά η πλαστική παραμόρφωση:
(σ₁-σ₃) ≤ S και επομένως:

σε μοναξονική συμπίεση : σ1≤ S,

σε μοναξονικό εφελκυσμό: σ3 ≤ S  και εκφράζεται με την εξίσωση:

max { │σ₁-σ₂│, │σ₂-σ₃│, │σ₃-σ₁│}=S

Κριτήριο von Mises

Όπως το κριτήριο Tresca έτσι και το κριτήριο von Mises θεωρεί τις διατμητικές παραμορφώσεις ως το κύριο μηχανισμό για την καθορισμό του ορίου ελαστικότητας. Αλλά αντί να χρησιμοποιήσει την μέγιστη διατμητική τάση ως το όριο της ελαστικότητας, χρησιμοποιεί την ενέργεια της στρεβλωτικής παραμόρφωσης. Ως δεδομένο τίθεται, ότι υπάρχει μία κρίσιμη ενέργεια στρέβλωσης, η οποία αν ξεπεραστεί, ωθεί το σώμα σε καθεστώς πλαστικότητας. Η συνολική ενέργεια της στρεβλωτικής παραμόρφωσης (U) σε ένα σώμα μπορεί να υπολογισθεί με τριπλό ολοκλήρωμα λόγω όγκου:

U₀: η ενέργεια της στρεβλωτικής παραμόρφωσης ανά mονάδα όγκου ή η ενέργεια πυκνότητάς της.

Στην περίπτωση μοναξονικής τάσης η U₀  ισούται με την περιοχή κάτω από τη καμπύλη stress- strain, όπως στο σχήμα  και γράφεται:

U_{0 =} 1/2σ ε

H U₀ μπορεί να υπολογισθεί σε όρους των κυρίων τάσεων [υ =αριθμός Poisson, Ε=μέτρο Young, εξ.(1)]:

όπου: ε₁ ε₂ ε₃ είναι οι κύριες στρεβλωτικές παραμορφώσεις

Η (9) ισχύει για κάθε παραμόρφωση του σώματος. Επομένως για να υπολογισθεί η «καθαρή» στρεβλωτική ενέργεια θα πρέπει να αφαιρεθεί η U₀ από την αποθηκευμένη ενέργεια της κανονικής παραμόρφωσης (υδροστατική ενέργεια U_h):

Έχοντας υπόψη τον τανυστή τάσεων 2^ης τάξης (Cauchy), ο διασταλτικός παράγων σ_h ορίζεται ως:

σ_h = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 = (σ_xx + σ_yy + σ_zz)/3       (10)

καλείται και ογκομετρική τάση και είναι ανεξάρτητος από το σύστημα των συντεταγμένων. Επίσης δηλώνει το καθεστώς της υδροστατικής (ολόπλευρης) πίεσης όπου σ₁=σ₂=σ_3. Οπότε η ενέργεια της υδροστατικής πυκνότητας υπολογίζεται αντικαθιστώντας τα στοιχεία της υδροστατικής τάσης (10) στην (9) που εκφράζει την πυκνότητα της ενέργειας της στρεβλωτικής παραμόρφωσης:

Η πλαστικότητα ξεκινά όποτε η U_d υπερβαίνει ένα κρίσιμο σημείο ενέργειας (U_dmax), του οποίου ο προσδιορισμός δεν είναι εύκολος και γι’ αυτό είναι περισσότερο βολικό να χρησιμοποιούμε μία τιμή τάσης. Επιπλέον η U_dmax είναι ιδιότητα του υλικού και πρέπει να είναι ανεξάρτητη της διαμόρφωσης του βάρους. Έτσι για ένα σώμα κάτω από μοναξονικό βάρος η σχέση (11) απλοποιείται ως:

 

 το αριστερό σκέλος είναι γνωστό ως ισοδύναμη τάση και περιγράφεται ως τάση von Mises: 

σ_Mises = [(σ₁‒σ₂)² + (σ₁‒-σ₃)² + (σ₂‒σ₃)²]^1/2      (12) 

Αν σ₂=0 τότε το αριστερό σκέλος γράφεται: [σ₁² ‒ σ₁σ₃ + σ₃²]^1/2            (13) 

Αυτή η εξίσωση (13) περιγράφει μία έλλειψη η οποία περικλείει το εξάγωνο του Tresca, όπως φαίνονται στα παρακάτω διαγράμματα σε δύο και τρείς διαστάσεις όπου το κριτήριο von Mises φαίνεται  ότι  οριοθετεί καλύτερα την τάση από αυτό του Tresca:

Εύπλαστη (όλκιμη) ροή -Ερπυσμός.

Εφαρμόζοντας σε δείγματα διαχρονικές παραμορφώσεις με σταθερή διαφορική τάση (σ₁-σ₃) και θερμοκρασία, παρατηρείται αργός συνεχής και πλαστικός ερπυσμός. Η προκύπτουσα καμπύλη στρεβλωτικής παραμόρφωσης/χρόνου μπορεί να διαιρεθεί μετα από την αρχική πλαστική αντίδρασή σε τρείς περιοχές που χαρακτηρίζονται από επιβραδυνόμενο, σταθερής κατάστασης και επιταχυνόμενο ερπυσμό.

Στην πρώτη περιοχή η κλίση της καμπύλης (ρυθμός στρεβλωτικής παραμόρφωσης) μειώνεται σταδιακά και αυτή η συμπεριφορά καλείται πρωτογενής (primary) ή παροδικός ερπυσμός (transient creep), ο οποίος είναι λογαριθμικός καθώς η συνολική στρεβλωτική παραμόρφωση αυξάνεται λογαριθμικά με το χρόνο. Το φαινόμενο του μειούμενου ρυθμού ερπυσμού υπό σταθερή τάση ονομάζεται διεργασία σκλήρυνσης (work hardening), δηλαδή παρατηρείται σκλήρυνση της στρεβλωτικής παραμόρφωσης καθώς το υλικό γίνεται λιγότερο εύπλαστο με την αύξησή της. Ο πρωτεύον ερπυσμός είναι αναστρέψιμος με την αποφόρτιση της τάσης και η ελαστικο-ιξώδη στρεβλωτική παραμόρφωση εξαλείφεται αργά μετα από στιγμιαία ανάκτηση της ελαστικής. Ο εν λόγω ερπυσμός της στρεβλωτικής παραμόρφωσης συνήθως καταλαμβάνει μέχρι το 1% του αθροίσματος των τριών περιοχών.

Στη δεύτερη περιοχή που συνήθως περιλαμβάνει το μεγαλύτερο τμήμα της καμπύλης ερπυσμού, η κλίση (ρυθμός στρεβλωτικής παραμόρφωσης) είναι σταθερή και παραμένουσα καθώς η πλαστική στρεβλωτική παραμόρφωση είναι μη αναστρέψιμη. Αυτή η γραμμική συμπεριφορά της ροής καλείται δευτερογενής (secondary) ή ερπυσμός σταθερής κατάστασης (steady-state creep). Ακόμη και με σταθερή τάση ο δευτερογενής ερπυσμός συνεχίζεται απ’ αόριστο. Αυτό μπορεί να αντιστοιχηθεί με την μακροχρόνια διαδικασία παραμόρφωσης που συντελείται στο εσωτερικό της Γης χωρίς να παρουσιάζει αστοχία σε βάθος γεωλογικού χρόνου.

Η τρίτη περιοχή  είτε δεν παρατηρείται πάντα ή αν υπάρχει απορροφά μικρό μέγεθος της στρεβλωτικής παραμόρφωσης. Η εν λόγω παραμόρφωση αυξάνεται εκθετικά μέχρι το επίπεδο αστοχίας του δείγματος. και η επιταχυνόμενη ροή οφείλεται στην εξασθένηση της στρεβλωτικής παραμόρφωσης λόγω της εξάπλωσης των μικροδιαρρήξεων ή των επιφανειών ολίσθησης δια μέσου των πετρωμάτων, με τέτοιο τρόπο, ώστε να σχηματίζονται συνεχείς διάχυτες ρωγμές. Αυτή η κατάσταση καλείται τριτογενής (tertiary) ή επιταχυνόμενος ερπυσμός (accelerating creep).

Συνάρτηση παροδικού ερπυσμού (πρωτογενής)

Παραδοσιακά τα μοντέλα ερπυσμού περιορίζονται στην ανάλυση του δευτερογενούς καθώς για το πρωτογενή ελάχιστα μοντέλα έχουν διατυπωθεί. Πάντως είναι γνωστό ότι η συμπεριφορά του παροδικού ερπυσμού στα κρυσταλλικά στερεά συσχετίζεται ευθέως με τις διαχρονικές αλλαγές στις μικροδομές. Ο πρωτογενής ερπυσμός έχει συνδεθεί με μεταβολές στη πυκνότητα και στην αναδιάταξη των εξαρμώσεων⁽⁶⁾  (αναλύονται στο δευτερογενή, παρακάτω).

Η εξίσωση Bailey - Orowan⁽⁴⁾  καθορίζει το ρυθμό ερπυσμού ως: 

όπου b to διάνυσμα Burgers⁽⁵⁾

Στον παροδικό ερπυσμό και η πυκνότητα των εξαρμώσεων και η ταχύτητα μεταβάλλονται με τον χρόνο έως ότου φθάσουν τη πρώτη σταθερή τιμή του ερπυσμού σταθερής κατάστασης (steady-state, ss) και η (14) γίνεται:  

Για περαιτέρω ανάλυση του θέματος: Bonora & Esposito: “Transient creep modeling based on the dependence of the activation energy on the internal stress” και Birger: “Transient creep and convective instability of the lithosphere”

___________________________________________________________________________________

(4) Εξίσωση Bailey – Orowan.

Από τον Bailey προτάθηκε μια απλή μαθηματική εξίσωση με την υπόθεση ότι η τάση είναι συνάρτηση του χρόνου και της στρεβλωτικής παραμόρφωσης: 

όπου ‒ r∙dt: ρυθμός ανάκαμψης (recovery) και h∙dε ρυθμός της σκλήρυνσης (work hardening)

Με δεδομένο ότι η τάση είναι σταθερή dσ =0  τότε:

Κατά τη διάρκεια της ανάκαμψης του ερπυσμού οι εξαρμώσεις, πιστεύεται ότι, γλιστράνε, δηλ. μία εξάρμωση καθυστερεί χρονικά σε ένα εμπόδιο που μόλις το ξεπεράσει γλιστρά απότομα μέχρι το επόμενο εμπόδιο κ.ο.κ. Έτσι η στρεβλωτική παραμόρφωση Δε που αναπτύσσεται χρονικά (Δt) όταν η πυκνότητα των εξαρμώσεων Δρ_m  μεταβάλλεται με τη κίνηση κι η εξίσωση Bailey – Orowan  με διαφορισμό γράφεται (Ojediran, Ajaja, 1988):

Δε = b Δρ_m α L   

όπου α σταθερά, L η απόσταση των εμποδίων και  αντιστοιχίζεται με την (15).

(5) Διάνυσμα Burgers (b).

Το διάνυσμα Burgers εκφράζει το μέγεθος και την διεύθυνση στρέβλωσης στο κρυσταλλικό πλέγμα η οποία προκλήθηκε από εξάρμωση. Σχηματίζεται ένα κύκλωμα γύρω από μία εξάρμωση σε δεξιόστροφη διεύθυνση όπου η κάθε πλευρά του κυκλώματος, η οποία συνδέει πλέγματα είναι σαφώς προσδιορισμένη. Αυτό το κύκλωμα μεταφέρεται σε ένα τέλειο – ιδανικό πλέγμα του ιδίου τύπου, όπου η εξάρμωση δεν υπάρχει και ως εκ τούτου το κύκλωμα αστοχεί να κλείσει. Το διάνυσμα που ενώνει την απόληξη του κυκλώματος με το σημείο εκκίνησης είναι το διάνυσμα Burgers, b = QM.

Συνάρτηση ερπυσμού σταθερής κατάστασης (δευτερογενής)

Ο δευτερογενής ερπυσμός είναι μία ειδική κατάσταση δυναμικής ισορροπίας των μικροδομών όπου η συνολική δομή παραμένει σταθερή διαχρονικά και ο ρυθμός ερπυσμού διατηρείται στη μικρότερη δυνατή τιμή.

Ο μηχανισμός του ερπυσμού εξαρτάται κυρίως από τη θερμοκρασία. Η διολίσθηση των εξαρμώσεων⁽⁶⁾  (dislocations) είναι η βασική διεργασία σε χαμηλές θερμοκρασίες η οποία διευκολύνει τη διάδοση του ερπυσμού στα πλέγματα (Nabarro – Herring⁽⁷⁾), ενώ σε αυξημένες θερμοκρασίες δημιουργείται ερπυσμός στα περιθώρια των κόκκων (Coble⁽⁸⁾). Γενικά η διαφορική τάση (σ₁-σ₃) συσχετίζεται με το ρυθμό του δευτερογενούς ερπυσμού (ἐ) με την μη γραμμική εμπειρική εξίσωση, η οποία περιγράφεται παρακάτω, με δεδομένο ότι το μέγεθος του κόκκου και της πηκτικότητας του ρευστού δεν επηρεάζουν τις εξαρμώσεις ερπυσμού διότι, αυτός, είναι αποτέλεσμα πρακτικά άκαμπτης μετατόπισης:

ἐ = Α(σ₁-σ₃)ⁿ exp(-Q/RT)   (17)

Α: παράγων συχνότητας, σταθερά του υλικού που καθορίζεται από τον συγκεκριμένο μηχανισμό ερπυσμού καθώς αυτός είναι αποτέλεσμα άκαμπτης μετατόπισης

Q: ενέργεια εκκίνησης ερπυσμού ή του μηχανισμού παραμόρφωσης

R: η σταθερά των αερίων

T: απόλυτη θερμοκρασία (Kelvin).

Το δεξί μέρος της εξίσωσης (17) αναφέρεται και ως εξίσωση Weertman (βασίζεται στην του Arrhenius) και συνεπάγεται ότι το ιξώδες είναι εκθετική συνάρτηση της θερμοκρασίας καθώς μειώνεται με αυτή. Εφόσον η διάχυση συνεπάγεται μεταφορά του υλικού σε κλίμακα κόκκων, τότε η αυξημένη τραχύτητα των κόκκων οδηγεί σε αργούς ρυθμούς ερπυσμού. Η (17) μπορεί να γραφεί σε λογαριθμική μορφή:

log ἐ = log A + η log σ – Q /RT

Η ρεολογία σταθερής κατάστασης των πετρωμάτων είναι ιδιαίτερης σημασίας για την διαμόρφωση καταστατικών συσχετίσεων μεταξύ τάσης, στρεβλωτικής παραμόρφωσης και ενδογενών παραμέτρων ροής. Για ένα καθορισμένο ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης αντιστοιχεί μόνο μια καθορισμένη αποκλίνουσα (deviatoric) τάση στη σταθερή κατάσταση. Η εκθετική εξίσωση με n=3 χρησιμοποιείται συχνά για την ταυτοποίηση πετρωμάτων μανδύα.

Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζονται ο ρυθμός ερπυσμού της στρεβλωτικής παραμόρφωσης ως συνάρτηση του αντιστρόφου του χρόνου για διάφορες τάσεις ερπυσμού. 

(6)  Οι εξαρμώσεις (dislocations) ορίζονται: α) ως η σχετική μετατόπιση σε οποιαδήποτε πλευρά μιας διάρρηξης και β) ως ατέλειες που αναπτύχθηκαν κατά μήκος μία γραμμής ατόμων εντός κρυσταλλικού πλέγματος, οι οποίες προξενούν μετατόπιση ή προσθήκη μια σειράς ατόμων μέσα σε μία κανονική δόμηση.

(7) Ερπυσμός Nabarro – Herring

Ο ερπυσμός Nabarro–Herring (ΝΗ) είναι ένα είδος ερπυσμού των κρυσταλλικών υλικών καθώς και των άμορφων υλικών που λαμβάνει χώρα σε χαμηλές τάσεις και σε χαμηλές σχετικά θερμοκρασίες σε κοκκώδη/κρυσταλλικά υλικά. Ο ερπυσμός αυτός διαχέεται μέσω των κρυστάλλων και ο ρυθμός του μεταβάλλεται αντίστροφα με το τετράγωνο του μεγέθους του κόκκου έτσι ώστε λεπτόκοκκα υλικά να έρπουν γρηγορότερα από τα ανδρομερή. Ακόμη ο ερπυσμός ΝΗ προέρχεται από την διάχυση των ελευθέρων θέσεων από περιοχές μεγάλης χημικής απορρόφησης ενέργειας (chemical potential) που υπόκειται σε κανονικές εκτατικές τάσεις και σε περιοχές χαμηλής ενεργειακής απορρόφησης όπου οι μέσες εκτατικές τάσεις κατα το μήκος των κόκκων είναι μηδενικές.

Έστω σε ένα παραλληλόγραμμο κόκκο όπου στις δύο απέναντι πλευρές εφαρμόζεται συμπιεστική τάση και ο ατομικός όγκος (-Va) μειώνεται ενώ στις άλλες δύο εφαρμόζεται εκτατική τάση και ο ατομικός όγκος (+Va) αυξάνεται. Το ποσοστό διαμόρφωσης στις συμπιεστικές (Ν_C) και στις εκτατικές περιοχές (Ν_T) είναι:

Q: η απαιτούμενη ενέργεια για να σχηματισθεί μια κενή θέση,

k: η σταθερά Boltzmann, T: απόλυτη θερμοκρασία

  

(8) Ερπυσμός Coble

Ο ερπυσμός Coble είναι μία μορφή διάχυτου ερπυσμού για την παραμόρφωση των κρυσταλλικών στερεών. Ομοιάζει με τον ερπυσμό ΝΗ, λόγω διάχυσης, αλλά αναπτύσσεται σε χαμηλές πιέσεις και υψηλές θερμοκρασίες με τη χρήση του μηχανισμού των εξαρμώσεων ολίσθησης στα όρια των κόκκων. Εξαρτάται από το μέγεθος του κόκκου καθώς και από το ρυθμό της στρεβλωτικής παραμόρφωσης:

Ac: γεωμετρικός συντελεστής στον οποίο ενσωματώνονται γεωμετρικές σταθερές

δ’: το πλάτος των ορίων του κόκκων

d^3: μέση διάμετρος κόκκων

Va: ατομικός όγκος

k: σταθερά Boltzmann

T: απόλυτη θερμοκρασία (Kelvin)

D_GB: συντελεστής διάχυσης των ορίων των κόκκων ο οποίος είναι συνάρτηση αφενός της απαιτούμενης ενέργειας για να σχηματισθεί μια κενή θέση και αφετέρου της ενέργειας που απαιτείται για τη διάχυση.

Το παραπάνω μοντέλο δίνει μια καλή προσέγγιση ερπυσμού αλλά σε καθορισμένο εύρος διαφορικών τάσεων και δεν είναι επαρκές για την απεικόνιση της πραγματικής συμπεριφοράς του μανδύα, δεδομένου ότι το μέγεθος του ερπυσμού εξαρτάται από το μέγεθος των τάσεων σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία. Οι Elbeshausen – Melosh (2018) πρότειναν ένα μοντέλο που  αποτελείται από τρία διαφορετικά καθεστώτα τα οποία εξαρτώνται από τη τάση και τη θερμοκρασία: α) Ερπυσμού διάχυσης από τον οποίο εξαρτάται το μέγεθος των κόκκων, β) μη γραμμικού ερπυσμού εξαρμώσεων και γ) του εκθετικού μηχανισμού του Peierls για μεγάλες τάσεις. Αν και η παραμόρφωση προκαλείται από τη κλασική γεωδυναμική μανδυακή επαγωγή που οφείλεται κυρίως στους ερπυσμούς διάχυσης και εξαρμώσεων, ο μηχανισμός του Peierls είναι απαραίτητος για μεγαλύτερες τάσεις και αντίστοιχους ρυθμούς στρεβλωτικής παραμόρφωσης όπως αυτές που παράγονται από την πρόσκρουση μετεωρίτη και την επακόλουθη κατάρρευση του αρχικού κρατήρα.

Ο υπολογισμός του συνολικού ρυθμού στρεβλωτικής παραμόρφωσης που οφείλεται στην ανελαστική παραμόρφωση (ἐ_ν) αποτελείται από το άθροισμα των ιξώδων των ρυθμών στρεβλωτικής παραμόρφωσης που προκύπτουν από τους τρείς μηχανισμούς ερπυσμού:

Διάχυσης (ἐ_l), εξαρμώσεων (ἐ_n) και Peierls (ἐ_p):

ἐ_ν = ἐ_l + ἐ_n + ἐ_p          (18)

Ερπυσμός διάχυσης: Εκφράζει την παραμόρφωση του υλικού από τη διάχυση των κρυσταλλικών πλεγμάτων Πρόκειται για πλαστική παραμόρφωση η οποία προκαλεί ολκιμότητα ως γραμμική συνάρτηση της τάσης. Ο ρυθμός στρεβλωτικής παραμόρφωσης που οφείλεται στον ερπυσμό διάχυσης εξαρτάται από την θερμοκρασία, την αποκλίνουσα τάση και από το μέγεθός των κόκκων:

α₀: το μέγεθος αναφοράς κόκκων (=1mm), η₀: το ιξώδες αναφοράς,

m: παράμετρος υλικού η οποία περιγράφει το μέγεθος των κόκκων που εξαρτώνται από τον ερπυσμό διάχυσης και η οποία κυμαίνεται μεταξύ 2 για διάχυση όγκου (Nabarro–Herring) και 3 για διάχυση των ορίων των κόκκων (Coble).

Ε_l: ενθάλπια ενεργοποίησης (ενθάλπια: η θερμοδυναμική σταθερά που εκφράζει το σύνολο της εσωτερικής  ενέργειας και της ενέργειας που προκύπτει από την μεταβολή του όγκου ενός στοιχείου).

Ο ερπυσμός διάχυσης είναι η κύρια αιτία σε χαμηλές τάσεις, όπου είναι έντονα εξαρτώμενος από την θερμοκρασία και συνεπάγεται πολύ μικρούς ρυθμούς στρεβλωτικής παραμόρφωσης.

Ερπυσμός εξαρμώσεων: Εκφράζει την παραμόρφωση του υλικού ως αποτέλεσμα της μετακίνησης των εξαρμώσεων διαμέσου των κρυσταλλικών πλεγμάτων (Carrez and Cordier, 2010). Περιγράφεται, καλύτερα, από μη-γραμμική συνάρτηση της αποκλίνουσας τάσης, της οποίας ο ρυθμός στρεβλωτικής παραμόρφωσης εξαρτάται από τη θερμοκρασία και την τάση αλλά όχι από το μέγεθος των κόκκων:

Ε_n: ενθάλπια ενεργοποίησης σε μη-Νευτώνειο ερπυσμό,

σ_c: κρίσιμη τάση και

n: ο εκθέτης της μη-γραμμικής εξάρτησης του ερπυσμού, ο οποίος συνηθώς κυμαίνεται μεταξύ 3 και 5.

Αυτός ο μηχανισμός συναντάται κυρίως σε ενδιάμεσες τάσεις και υψηλές θερμοκρασίες.

Ο μηχανισμός του Peierls αποτελεί ειδική περίπτωση ερπυσμού εξαρμώσεων, οποίος ενεργοποιείται θερμικά και εφαρμόζεται μόνο σε υψηλές αποκλίνουσες τάσεις. Δίδεται από την εξίσωση:

A_p και q είναι παράμετροι του υλικού, 

Ε_p :ενθάλπια ενεργοποίησης για τον μηχανισμό Peierls  και

σ_p: τάση Peierls

Ο μηχανισμός Peierls ενεργοποιείται σε τάσεις πάνω από 500MPa, αλλά εξαρτάται από το υλικό. Δηλαδή, μανδυακό υλικό όπως ο ολιβίνης είναι πολύ περισσότερο ευαίσθητο στον ερπυσμό Peierls από ένα τυπικό κρυσταλλικό υλικό όπως το πλαγιόκλαστο.

Αντικαθιστώντας στη (18) έχουμε:

Ενδεικτικός κατάλογος μηχανισμών παραμόρφωσης

Ελαστική: Πολύ χαμηλή θερμοκρασία και μικρές στρεβλωτικές παραμορφώσεις.

Διάρρηξης: Πολύ χαμηλή θερμοκρασία, υψηλή διαφορική τάση, σημαντική η πίεση πόρων.

Ολίσθησης τριβής σε προϋπάρχουσες διαρρήξεις: Χαμηλή θερμοκρασία, υψηλή διαφορική τάση αλλά μικρότερες για την απαιτούμενη διάρρηξη, σημαντική η πίεση πόρων.

Ολίσθηση εξάρμωσης: Χαμηλή θερμοκρασία, υψηλή διαφορική τάση. Εκδηλώνει συμπεριφορά σκλήρυνσης στρεβλωτικής παραμόρφωσης.

Ολίσθηση και αναρρίχηση εξάρμωσης: Υψηλή θερμοκρασία, υψηλή διαφορική τάση. Απαιτείται αύξηση της διάχυσης στα πλέγματα ώστε να μπορέσουν οι εξαρμώσεις να αναρριχηθούν γύρω από εμπόδια.

Διάχυσης στα όρια των κόκκων: Χαμηλή θερμοκρασία, μικρή διαφορική τάση, αργός ρυθμός στρεβλωτικής παραμόρφωσης.

Διάχυσης κρυσταλλικών πλεγμάτων: Πολύ υψηλή θερμοκρασία, μικρή διαφορική τάση. Ενεργοποιείται, πιθανώς, μόνο ως πρωτογενής μηχανισμός στον μανδύα.

Λιθοσφαιρική αντοχή.

Επίδραση του καθεστώτος τάσεων

Στην εξίσωση 17 [έ = Α(σ₁-σ₃)ⁿ exp(-Q/RT)] αν n=1 τότε η τάση είναι ανάλογη του ρυθμού της στρεβλωτικής παραμόρφωσης και το υλικό συμπεριφέρεται ως Νευτώνειο, απόλυτα ιξώδες [εξίσωση 2: σ = η ἐ ]. Αλλά το ιξώδες των πετρωμάτων με n > 1 είναι εξαρτώμενο από τον ρυθμό της στρεβλωτικής παραμόρφωσης (ἐ) ο οποίος συσχετίζεται με την εφαρμοζόμενη τάση από την εκθετική εξίσωση (3):

σⁿ= Â ἐ     όπου Â= Α exp(-Q/RT)

Εφόσον η αναλογικότητα μεταξύ ρυθμού στρεβλωτικής παραμόρφωσης (ἐ) και τάσης (σ) είναι μη-γραμμική, μόνο το ενεργό ιξώδες μπορεί να προσδιορισθεί ως:

η_eff = σ/ ἐ = Â^1/n ἐ^(1/n-1)

Άρα προκύπτει ότι μία μικρή αύξηση του ἐ έχει ως αποτέλεσμα την ταχεία μείωσης του η_eff με δεδομένο n > 1. Για το λόγο αυτό το ενεργό ιξώδες καλείται επίσης ως ιξώδες εξαρτώμενης τάσης ή εξαρτώμενου ρυθμού  στρεβλωτικής παραμόρφωσης.

Ο κύκλος του Mohr, υπενθυμίζεται, δεικνύει ότι η κανονική (ορθή) τάση σ_Ν και η διατμητική σ_S συσχετίζονται με τις μέγιστες και τις ελάχιστες κύριες τάσεις :

σ_Ν = σ₁συν²θ + σ₃ημ²θ         (21)

σ_{S =}  ημ²θ(σ₁ – σ₃)         (22)

Η εφαρμογή του νόμου Byerlee στη λιθόσφαιρα προϋποθέτει ότι πρέπει να επαναδιατυπωθεί σε όρους κυρίων τάσεων αντί της χρήσης της διατμητικής και κανονικής τάσης.

Βασικά πρέπει να γνωρίζουμε αν η συνολική διαφορική τάση (σ₁ – σ₃) μπορεί να ενεργοποίηση ολίσθηση σε ρήγμα και γι’ αυτό το λόγο αντικαθιστούμε τις εξισώσεις (21) και (22) με τις (7) και (8):

Για σ_Ν ≤ 200MPa: ₌  ημ²θ(σ₁ – σ₃) = 0,85(σ₁συν²θ + σ₃ημ²θ)

Για 200 ≤ σ_Ν ≤ 2000MPa: ₌  ημ²θ(σ₁ – σ₃) = 50 +0,6(σ₁συν²θ + σ₃ημ²θ)

Έχοντας υπόψη τη τριγωνομετρική ταυτότητα ημ2θ ≡ 2ημθσυνθ, τότε οι παραπάνω εξισώσεις γράφονται αντίστοιχα:

(ημθ συνθ) (σ₁-σ₃) = 0,85(σ₁συν²θ+ σ₃ημ²θ)

(συνθ ημθ) (σ₁-σ_{3) =} 50 + 0,6(σ₁συν²θ + σ₃ημ²θ)

Αναπτύσσοντας στη μορφή  σ₁ = f(σ₃) έχουμε:

Θέτοντας θ = π/3 ως σταθερή γωνία για τις αριθμητικές εφαρμογές, ο νόμος Byerlee σε όρους κυρίων τάσεων γράφεται:

σ₁ = 4,85σ3 ≈5σ3

σ₁ = 3,12σ3 +176

Ο νόμος Byerlee έχει την τάση να δίνει ένα χαμηλότερο όριο ελαστικότητας με την υπόθεση ότι η λιθόσφαιρα είναι διαρρηγμένη. Εφόσον τα σεισμικά κύματα διαδίδονται μέσω της λιθόσφαιρας, αυτό προϋποθέτει ότι τα πετρώματα έχουν κυρίως ελαστική συμπεριφορά και το καθεστώς τάσεων της λιθόσφαιρας είναι υδροστατικό. Σε πλήρως ελαστικά σώματα οι κύριες τάσεις ορίζονται με την σχέση:

(υ : ο λόγος Poisson με τιμή 0,25 για πετρώματα)

σ₂ =σ₃= σ₁ =[ υ /(1-υ)]

Επομένως σε ελαστική λιθόσφαιρα:  σ₁ = 3σ₃

Επίδραση της υδροστατικής πίεσης

Τα πετρώματα βάθους υφίστανται λιθοστατική πίεση, η οποία θεωρείται ότι είναι ενεργή υδροστατική (ίση από όλες τις κατευθύνσεις) και συσχετίζεται, κυρίως, με το πάχος και την πυκνότητα των υπερκείμενων στρωμάτων. Συνεπώς η λιθοστατική πίεση (P_lith) υπολογίζεται με το απλό ολοκλήρωμα:

(ρ: πυκνότητα, z: βάθος, g:βαρυτική επιτάχυνση)

Η P_lith, προκαλεί ελαστικές μεταβολές στον όγκο οι οποίες εξαρτώνται από την συμπιεστικότητα του υλικού. Μια ακόμη σημαντική διαπίστωση της αύξησης της P_lith είναι ότι προκαλεί σχεδόν γραμμική αύξηση τόσο στο όριο ελαστικότητας όσο και στην αστοχία της τάσης, δίνοντας έτσι στο υλικό μια μεγαλύτερη ενεργή αντοχή είτε σε συμπίεση είτε σε εφελκυσμό. Με άλλα λόγια, η αύξηση της P_lith συνεπάγεται συσσώρευση μεγαλύτερης στρεβλωτικής παραμόρφωσης πριν την αστοχία, δηλαδή αυξάνει την ικανότητα του πετρώματος για όλκιμη ροή (Σχήμα 4).

Mεσαίου μεγέθους λιθοστατική πίεση πλησίον της επιφάνεια της Γης, επιτρέπει στα άτομα των υπό τάση πετρωμάτων να κινούνται ελεύθερα και να σπάνε εύκολα τους δεσμούς τους με αποτέλεσμα, τα πετρώματα επιφανείας φλοιού κάτω από επαρκή τάση, να υφίστανται εύθραυστη αστοχία. Το ίδιο πέτρωμα σε βάθος μερικών χιλιομέτρων θα μπορούσε να συμπεριφερθεί εύπλαστα διότι η μεγαλύτερη P_lith εμποδίζει το σπάσιμο των χημικών δεσμών. 

Επίδραση της πίεσης των πόρων.

Επειδή η πίεση των ρευστών είναι υδροστατική και αντιτίθεται στη λιθοστατική πίεση, η αύξηση της πίεσης των πόρων (P_fl) είναι το ίδιο με το να μειωθεί η ολόπλευρη πίεση. Τα ρευστά στα πετρώματα μειώνουν και την αντοχή τους, (η αστοχία προκαλείται σε χαμηλότερη διαφορική τάση) και την ολκιμότητά τους (η αστοχία προκαλείται σε χαμηλότερη στρεβλωτική παραμόρφωση). Η συνδυασμένη μείωση ολκιμότητας και αντοχής διευκολύνει τη ροή κάτω από υψηλές πιέσεις πόρων.

Η παρουσία της ρευστής φάσης στα πετρώματα, τα οποία παραμορφώνονται, είναι σημαντική για δύο λόγους:

α) Μπορούν να προκληθούν ορυκτολογικές αντιδράσεις ιδιαίτερα σε ανερχόμενες θερμοκρασίες όπου επηρεάζονται οι μηχανικές ιδιότητες του πετρώματος και

β) μπορούν να μειώσουν την επίδραση της λιθοστατικής πίεσης, δηλ. τις ενεργές κανονικές τάσεις, καθώς η ένταση της πίεσης των πόρων αντισταθμίζει την άμεση πίεση μεταξύ των παρακείμενων κόκκων.

Η ενεργή πίεση (P_eff)  του στερεού υλικού εκφράζεται ως: 

P_eff = P_lith ‒  P_fl

Ο λόγος:  P_lith / P_fl = λ, είναι ο συντελεστής της πίεσης των ρευστών. 

Στα κορεσμένα πετρώματα όπου η P_lith είναι πολύ υψηλή, η επίδραση της P_fl παύει να υφίσταται και η αντοχή του πετρώματος μειώνεται στο επίπεδο των συνθηκών επιφανείας. Στους πόρους πετρώματος η υψηλή P_fl επιφέρει διαρρήξεις στο περίβλημά τους, όπου η χαμηλή P_lith είναι υπεύθυνη για τη καταστροφή τους.

Η επίδραση της υψηλής P_fl στα πετρώματα, σε ανερχόμενες θερμοκρασίες, απεικονίζεται από την καμπύλη stress-strain για υγρό και ξηρό χαλαζία (Σχήμα 5). Το όριο ελαστικότητας των 950⁰C στον υγρό χαλαζία είναι μόνο το 1/10 από αυτό που απαιτείται για τον ξηρό στην ίδια θερμοκρασία. Η ολκιμότητα σ’ αυτή την περίπτωση αυξάνεται από την παρουσία του νερού το οποίο εξηγεί το λόγο κατά τον οποίον κάποια υλικά, ανθεκτικά ακόμη και σε υψηλές θερμοκρασίες, μπορούν και ρέουν κάτω από μεταμορφικές συνθήκες με την παρουσία υδαρών ρευστών

Το νερό με τις διεργασίες της υδρόλυσης και της διάχυσης διαβρώνει τα πετρώματα βελτιώνοντας / αυξάνοντας την εύπλαστη ροή. Επιπροσθέτως η πίεση των πόρων τροποποιεί το κριτήριο αστοχίας Coulomb (σ_S = c +μ σ_Ν), το οποίο επαρκώς περιγράφει την όλκιμη συμπεριφορά των περισσοτέρων πετρωμάτων. Στη περίπτωση προϋπαρχόντων ρηγμάτων, ο συντελεστής συνεκτικότητας ή διατμητικής αντοχής μπορεί μα πάρει τιμή: c= 0 λόγω της αμελητέας συνεκτικότητας, τότε η κανονική πίεση είναι η λιθοστατική η οποία εξουδετερώνεται από την ρευστή και ως εκ τούτου το κριτήριο αστοχίας μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως (λαμβάνοντας υπόψη την εξ.23):

(σ₁ - σ₃) ≥ βρgz (1-λ)

η: τυπική υδροστατική τιμή είναι λ = 0,4

β: είναι μία αριθμητική παράμετρος συγκρίσιμη με τον συντελεστή τριβής, μ, και εξαρτάται από τον τύπο του ρήγματος με τιμές 3,0 - 1,2 – 0,75 για ανάστροφα, οριζόντιας ολίσθησης και κανονικά αντίστοιχα.

Το ερώτημα είναι ποια πρέπει να είναι η τιμή της διαφορικής τάσης ώστε να προκληθεί αστοχία. Με τη χρήση του κριτηρίου Coulomb – Mohr, οι Anderson (1951) και Sibson (1974), έδειξαν ότι η απαιτούμενη διαφορική τάση εξαρτάται από το καθεστώς των τάσεων οι οποίες σχεδόν συσχετίζονται με τον προσανατολισμό του ενεργοποιουμένου ρήγματος. Ο Stüwe (2007) συνοψίζει ως (Σχήμα 6):

Αυτές οι εξισώσεις (με μ ως συντελεστή τριβής) δείχνουν ότι η τάση που απαιτείται για την ολίσθηση, θα είναι χαμηλότερη αν η ολόπλευρη πίεση μειώνεται από υψηλότερη πίεση ρευστών, η οποία αυξάνει το λ.

Περιβάλλουσες αντοχής ελαστικού ορίου (yield-strength envelopes – YSE)

Γνωρίζοντας το μέγεθος και τον ρυθμό μετατοπίσεων που πραγματοποιούνται στις τεκτονικές πλάκες, η ρεολογία της λιθόσφαιρας θεωρείται ιξώδης. Πάντως σε αρκετές περιπτώσεις παρατηρήσεων φάνηκε ότι η ρεολογία μεταβάλλεται με το βάθος καθώς τα πετρώματα σε μικρά βάθη κρυσταλλικών επιπέδων έχουν παραμορφωθεί με εύθραυστο τρόπο, ενώ πετρώματα σε μεγαλύτερα βάθη παραμορφώθηκαν με εύπλαστό. Σε υποστήριξη των ανωτέρω, η σεισμικότητα αναπτύσσεται εντός του ανώτερου φλοιού σε ανθεκτική και λεπτή ωκεάνια λιθόσφαιρα και αντίστοιχα σε αδύναμη και παχύτερη ηπειρωτική λιθόσφαιρα. Ρεολογικά μοντέλα της λιθόσφαιρας πρέπει να λαμβάνουν υπόψη αυτές τις μεταβολές, οι οποίες γραφικά παρουσιάζονται ως πρότυπα αντοχής ως προς το βάθος και καλούνται περιβάλλουσες αντοχής ελαστικού ορίου (yield-strength envelopes – YSE), δηλαδή δεικνύουν την αντοχή του πετρώματος ως συνάρτηση του βάθους.

Οι YSE; (ή «χριστουγεννιάτικα δένδρα») αποτελούνται από δύο καμπύλες διαφορετικών τύπων (Σχήμα 7). Σε μικρά βάθη η ευθεία γραμμή που απεικονίζει τη εύθραυστή διάρρηξη δείχνει την αύξηση της αντοχής με το βάθος. Σε βαθύτερα επίπεδα η καμπύλη γραμμή δείχνει εύπλαστη παραμόρφωση όπου η αντοχή μειώνεται εκθετικά λόγω της αύξησης της θερμοκρασίας και από την επακόλουθη μείωση του ιξώδους (Burov and Diament, 1995). Το βάθος, στο οποίο η εύθραυστη ή και εύπλαστη αντοχή είναι ίσες, καθορίζεται ως εύθραυστο-πλαστική μεταβατική ζώνη (brittle ductile transition zone – BDT) και η συνολική αντοχή της λιθόσφαιρας (σ_L) υπολογίζεται  με την ολοκλήρωση της YSE:

h: το πάχος της λιθόσφαιρας, z: το βάθος

Η ανάπτυξη των YSE στηρίζεται στο νόμο του Byerlee ο οποίος αποδεικνύει ότι η αντοχή των εύθραυστων πετρωμάτων είναι, βασικά, μια συνάρτηση  πίεσης – βάθους  και είναι σχεδόν ανεξάρτητη από το τύπο του πετρώματος Αυτό εξηγεί και το λόγο όπου στρωματοποιημένα εύθραυστα πετρώματα συμπεριφέρονται ως μια μηχανική ενότητα: τα ρήγματα διατρέχουν μεγάλες αποστάσεις σε βάθος ή οριζόντια αγνοώντας τη λιθολογική στρωματοποίηση και τις κληρονομημένες δομές.

 Οι YSE δείχνουν τη σχετική βαρύτητα των μεταβολών της πίεσης και της θερμοκρασίας στα εύθραυστα και εύπλαστα καθεστώτα παραμόρφωσης των πετρωμάτων. Το αποτέλεσμα είναι ασύμμετρο και τονίζεται ότι στη συμπίεση η αντοχή του BDT είναι σημαντικά μεγαλύτερη σε μικρά βάθη απ’ ότι στον εφελκυσμό και ότι η περιοχή κάτω από την YSE οδηγεί σε ενοποιημένη αντοχή η οποία είναι μέτρο της συνολικής λιθοσφαιρικής αντοχής.

H αναμενόμενη αντοχή στο εύθραυστο τμήμα του φλοιού εξαρτάται μόνο από την θεωρούμενη πίεση των πόρων. Καθώς η κλίση της εύθραυστης YSE εξαρτάται από τον τύπο της ρωγμάτωσης, ώστε δύο πρότυπα μπορούν να απεικονισθούν εκατέρωθεν του κάθετου άξονα του βάθους: Η θετική πλευρά των τάσεων αναφέρεται σε πρότυπα εφελκυσμού, ενώ η αρνητική πλευρά σε συμπίεση.

H αναμενόμενη αντοχή στο εύπλαστο, βαθύτερο τμήμα του φλοιού εξαρτάται κυρίως από το τύπο του πετρώματος τη θερμοκρασία και τη στρεβλωτική παραμόρφωση. Συνήθως, η ρεολογία του χαλαζία εφαρμόζεται για τον ηπειρωτικό φλοιό όπου τα πετρώματα μεταβάλλονται με το βάθος, η ίδια πρόβλεψη μπορεί να γίνει και για κάθε ορυκτή φάση. Διαφορετικές περιβάλλουσες ιξώδους συσχετίζονται μεταξύ τους και η λιθόσφαιρα μπορεί να φαίνεται ότι είναι ρεολογικά στρωματοποιημένη. Στη Moho, συγκεκριμένα, τα μανδυακά πετρώματα (ολιβίνης) είναι περισσότερο ανθεκτικά στον ερπυσμό σε σύγκριση με άλλα πυριγενή στην ίδια θερμοκρασία.

Πρότυπα (profiles) αντοχής

Τα πρότυπα στηρίζονται σε αυτονόητες αρχές για τους βασικούς παράγοντες οι οποίοι διέπουν τη ρεολογία των πετρωμάτων Μία πρώτη τέτοια αρχή είναι αυτή της ελάχιστης προσπάθειας που υπογραμμίζει την αιτιότητα της τάσης στη λιθόσφαιρα: ο επικρατέστερος μηχανισμός παραμόρφωσης είναι αυτός που απαιτεί την ελάχιστη διαφορική τάση για να ενεργοποιηθεί. Δηλαδή, αν ένας μηχανισμός Α απαιτεί 500ΜΡa, σε δεδομένες περιβαλλοντολογικές συνθήκες, αλλά ένας άλλος Β απαιτεί 200ΜΡa, όχι μόνο θα «προτιμηθεί» ο Β αλλά και η διαφορική τάση δεν θα ξεπεράσει (σημαντικά) τη τιμή των 200ΜΡa.

Διακρίνονται, τουλάχιστον δύο αντίθετες και υπερτιθέμενες λιθοσφαιρικές περιοχές: α) περιοχές εντάσεως πίεσης με ελαστική – άκαμπτη συμπεριφορά όπου είναι ευκολότερο να υπακούσουν στους κανόνες της ρηξιγενούς αντοχής και β) αυτές της εντάσεων θερμοκρασίας με εύπλαστους (ιξώδεις ή πλαστικούς) μη γραμμικούς κανόνες ροής για το όριο αντοχής της ελαστικότητας.

Η δόμηση των προτύπων αντοχής βασίζεται στις παρατηρήσεις δύο ερευνητών με το ομώνυμο μοντέλο τους: “Λιθόσφαιρα Brace – Goetze”. Σύμφωνα με αυτό, ο εύθραυστος ανώτερος φλοιός υπακούει στο νόμο του Byerlee. Ο κατώτερος φλοιός μπορεί να διαχωριστεί σε έναν αδύναμο εύπλαστο τμήμα και σε ένα δυνατό αλλά ομοίως εύπλαστο το οποίο υπέρκεινται του μανδύα. Συνεπώς, για τις περισσότερες γεώθερμες του ηπειρωτικού φλοιού και του ανωτέρου μανδύα, η δυνατότερη περιοχή επικάθεται στο όριο του μανδύα. Ως εκ τούτου ο κατώτερος φλοιός συνδέει, στις περισσότερες περιοχές, την παραμόρφωση του ανώτερου μανδύα με αυτή του ανώτερου φλοιού.

Πάντως η διατύπωση μοντέλων, για την μέγιστη αντοχή των πετρωμάτων σε συνάρτηση με το βάθος της λιθόσφαιρας, βασίζεται στην υπόθεση ότι, τα ρεολογικά δεδομένα, τα οποία προκύπτουν από εργαστηριακά πειράματα στη μηχανική των ψυχρών (εύθραυστων) και ζεστών (εύπλαστων) πετρωμάτων και ορυκτών, μπορούν να επεκταθούν σε μακροσκοπικές κλίμακες και γεωλογικούς χρόνους. 

 

Σχήμα 8. a): θερμοκρασία (Τ) ως συνάρτηση του βάθους (z). Αυτή η καμπύλη έχει το σχήμα μια τυπικής ηπειρωτικής γεώθερμης, b): Η διατμητική αντοχή που οφείλεται στην αστοχία θραύσης (ευθεία) και στη ιξώδη παραμόρφωση (καμπύλες γραμμές) για δύο διαφορετικούς ρυθμούς στρεβλωτικής παραμόρφωσης για χαλαζία και ολιβίνη. Σε κάθε δεδομένο βάθος, η καμπύλη με τη μεγαλύτερη αντοχή αντιστοιχεί σε υψηλότερο ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης. c) και d): Πρότυπα αντοχής που σχηματίσθηκαν από τη b για χαμηλούς και υψηλούς ρυθμούς στρεβλωτικής παραμόρφωσης.

Σχήμα 9: Διάγραμμα όπου φαίνονται οι αλλαγές στη μηχανική αντοχή της Brace – Goetze λιθόσφαιρας όταν αλλάζει το καθεστώς παραμόρφωσης από συμπιεστικό σε εκτατικό. a):Η αλλαγή από τη συμπίεση στον εφελκυσμό μειώνει την αντοχή της εύθραυστης αστοχίας, ενώ η ιξώδης αντοχή παραμένει ανεπηρέαστη από αυτή την αλλαγή, εφόσον η απόλυτη τιμή του ρυθμού της στρεβλωτικής παραμόρφωσης παραμένει σταθερή. Αυτό φαίνεται στα πρότυπα αντοχής b και c τα οποία δομήθηκαν από το a. Στο b) ολόκληρο το τμήμα του μανδύα της λιθόσφαιρας παραμορφώνεται με ιξώδη τρόπο, ενώ στο c) το πλέον ανώτερο τμήμα του μανδύα αστοχεί στην εύθραυστη φάση .

Σχήμα 10: Ρεολογική στρωματοποίηση του ηπειρωτικού φλοιού βασισμένη σε συνδυασμό εύθραυστης τριβής και πλαστικής ροής που προέκυψε, πειραματικά, για χαλαζία, άστριο και ολιβίνη. a) Η μετάβαση γίνεται εκεί όπου οι μη γραμμικές καμπύλες εύθραυστης και πλαστικής ροής διατέμνονται. Διαφορετικοί τύποι πετρωμάτων με διαφορετική ορυκτολογική σύνθεση επηρεάζουν αυτές τις μεταβάσεις. Τα άνυδρα πετρώματα-dry c) είναι σημαντικά δυνατότερα από τα ένυδρα-wet b) και μπορούν να αντέξουν μεγαλύτερες διαφορικές τάσεις.

Το άνω τμήμα της λιθόσφαιρας μπορεί να θεωρηθεί ελαστικό σε μεγάλο εύρος της χρονοκλίμακας. Αυτή η υπόθεση εξηγεί ότι μεγάλα βάρη όπως θαλάσσιες και ηπειρωτικές οροσειρές αντισταθμίζονται (ισοστασία) από τη λιθόσφαιρα για εκατομμύρια χρόνια. Σε μικρότερες χρονοκλίμακες η Γη συμπεριφέρεται ελαστικά όπως στις περιπτώσεις σεισμικών επεισοδίων και τη διάδοση των κυμάτων τους. Το κύριο χαρακτηριστικό της ελαστικής συμπεριφοράς των πετρωμάτων, σε γεωδυναμικές διεργασίες, στηρίζεται στο γεγονός ότι η λιθόσφαιρα είναι ικανή για τη στήριξη και τη μετακίνηση μεγάλων τεκτονικών τάσεων για μακριές χρονικές περιόδους. Η ελαστικότητα ελέγχει τα πεδία τάσης σε άκαμπτες περιοχές, οι οποίες, τάσεις, με τη σειρά τους είναι υπεύθυνες για τη θέση και τον χρονισμό της παραμόρφωσης σε μη-άκαμπτες περιοχές. Αυτό σημαίνει ότι, ουσιαστικά, είναι ανέφικτο να εκτιμηθεί το καθεστώς τάσεων της λιθόσφαιρας χωρίς να ληφθεί υπόψη η επίδραση της ελαστικότητας. Τα πρότυπα αντοχής στο άνω τμήμα της λιθόσφαιρας υπακούνε στο νόμο τριβής του Byerlee: Η εύθραυστη αντοχή των πετρωμάτων αυξάνεται γραμμικά με το βάθος και είναι ανεξάρτητη του υλικού και επομένως η εύθραυστη διατμητική αντοχή θα αυξηθεί γραμμικά διαμέσου των στρωμάτων φλοιού και μανδύα (Σχήμα 11).

Είναι γενικώς αποδεκτό ότι η συνολική ιξώδης συμπεριφορά της λιθόσφαιρας μπορεί μα απεικονισθεί από μία μη-γραμμική εξίσωση σε σχέση με την εξάρτησή της από τη θερμοκρασία και τη τάση. Η καμπύλη της YSE των πετρωμάτων σε εύπλαστη παραμόρφωση είναι εντελώς ανεπηρέαστη σε μεταβολές της πίεσης (λόγω βάθους) αλλά μειώνεται εκθετικά λόγω της θερμικής εξασθένησης. Συνεπώς η εύπλαστή διατμητική αντοχή είναι πιθανό να μειώνεται με το βάθος.

Πετρώματα με μη-γραμμικό ιξώδες σε μεσαίες τιμές θερμοκρασίας / βάθους, ανάλογα με το καθεστώς τάσεων,  το μέγεθος των κόκκων και τη σύνθεσή των, μπορούν σε υψηλές θερμοκρασίες να ακολουθούν γραμμική Νευτώνεια συμπεριφορά.

Για τον υπολογισμό της αντοχής της λιθόσφαιρας θα πρέπει, σε κατάλληλα πετρώματα (πχ υγρός χαλαζίας στο φλοιό, ολιβίνης στον μανδύα), να εφαρμόσουμε συγκεκριμένο ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης και γεωθερμικής βαθμίδας.

Στην ωκεάνια λιθόσφαιρα ο βασαλτικός φλοιός έχει περίπου μηδενικό πάχος στη μεσοωκεάνεια ράχη και το λεπτό ιζηματογενές κάλυμμα θεωρείται αμελητέο για να επηρεάσει τη ρεολογία της συνολικής λιθόσφαιρας. Το πάχος του ωκεάνιου φλοιού, 5-7 χλμ., διαμορφώνεται από τη ψύξη του λιθοσφαιρικού μανδύα κάτω από τον φλοιό. Έτσι η ολική σύνθεση της ωκεάνιας λιθόσφαιρας είναι μάλλον ομοιογενείς και χαρακτηρίζεται κυρίως από τη ρεολογία του ολιβίνη ως προς τη συνολικής της συμπεριφορά. Τα πρότυπα αντοχής πρώτα αυξάνονται γραμμικά με το βάθος, σύμφωνα με το νόμο του Byerlee και ακολούθως μειώνονται εκθετικά σύμφωνα με το ιξώδες του ολιβίνη μέχρι να ισορροπήσουν με την σχεδόν χωρίς αντοχή ασθενόσφαιρα.

Εφόσον ο νόμος του Byerlee εφαρμόζεται σε οποιονδήποτε τύπο πετρώματος, η παρουσία πλαγιόκλαστων και πυρόξενων στον παγωμένο βασαλτικό – γραββικό φλοιό μπορεί να παραληφθεί. Η εύθραυστη και ιξώδης YSE διατέμνει την εύθραυστο-πλαστική μεταβατική ζώνη – BDT.

Κατά τη διάρκεια της ψύχρανσης το βάθος της BDT αυξάνει και το μέγεθος της επηρεαζόμενης περιοχής κάτω από το πρότυπο αντοχής μεταβάλλεται.. Με άλλα λόγια η συνολική αντοχή της λιθόσφαιρας αυξάνει με την ηλικία εως ότου η λιθόσφαιρα φθάσει ένα ελάχιστο πάχος σταθερής κατάστασης που κυμαίνεται, περίπου, σε βάθος 40 χλμ. και στα 60-80Ma (Σχήμα 16: η χρωματική διαβάθμιση).

Σχήμα 12: Συγκριτικό διάγραμμα δύο μοντέλων για ισόθερμες και βάθη σεισμών σε ψυχρή ωκεάνια πλάκα από McKenzie et al. (2005).Οι ισόθερμες απεικονίζονται ανά 100⁰C μέχρι το βάθος των 106 χλμ., οι των 600⁰ και 1000⁰ σημειώνονται με έντονα μαύρες γραμμές και έχουν υπολογισθεί με θερμικούς συντελέστες εξαρτώμενους από τις μεταβολές της θερμοκρασίας Οι γκρι περιοχή αναφέρεται στο μοντέλο των Parsons & Sclater (1977), στο οποίο χρησιμοποιούν σταθερούς θερμικούς συντελεστές με βάθος πλάκας 125χλμ. Τα μοντέλα διαφέρουν στην οριακή θερμοκρασία γένεσης των σεισμών 600⁰C με 750⁰C. Μοναδική εξαίρεση είναι ο σεισμός της Χιλής (1960, 9.5) σε λιθόσφαιρα ηλικίας 45Ma.

Στην ηπειρωτική λιθόσφαιρα η εφαρμογή των YSE είναι δυσκολότερη καθώς ο φλοιός είναι ετερογενής και παχύτερος από τον ωκεάνιο και ως εκ τούτου είναι διαφορετική η ρεολογική διαστρωμάτωση.

Η ρεολογία του φλοιού προσεγγίζεται γενικά με αυτή του πλέον κοινού ορυκτού, του υγρού χαλαζία, ο οποίος είναι εύθραυστος σε ρηχά βάθη αλλά τυπικά όλκιμος σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες από 300⁰-350⁰C. Εάν ο φλοιός παραμορφώνεται με σταθερό ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης, τότε η εύθραυστη αντοχή του αυξάνεται με το βάθος και διατέμνει την ιξώδη περιβάλλουσα στη BDT, περίπου, στα 15χλμ. από τη γεώθερμη των 20⁰/χλμ. (Σχήμα 13). Κάτω από τη Moho η καμπύλη ιξώδους για υγρό χαλαζία αντικαθίσταται από εκείνη του ολιβίνη, η οποία υποστηρίζει ουσιαστικά υψηλότερες διατμητικές τάσεις από ότι του χαλαζία και η Moho είναι επομένως η περιοχή με τη μεγαλύτερη αντοχή στη λιθόσφαιρα. Όπως και στην ωκεάνια λιθόσφαιρα το πάχος του ηπειρωτικού μανδύα εξαρτάται από την ηλικία και είναι παχύτερος κάτω από παλιούς κράτονες.

Ο φλοιός πάνω από αυτό το βάθος (15χλμ) παραμορφώνεται σε εύθραυστη φάση ενώ κάτω από αυτό είναι ιξώδης και η αντοχή του μειώνεται με το βάθος. Η BDT στηρίζει τις υψηλές διατμητικές τάσεις οπουδήποτε στο φλοιό και εντός του εύρους αυτού του βάθους όπου όταν οι τάσεις πλησιάσουν τις πλέον υψηλές τιμές αυτές προλαμβάνονται από ενδοτεκτονικούς σεισμούς στις πλάκες. Σε αυξημένους ρυθμούς στρεβλωτικής παραμόρφωσης, αυξάνεται το μέγεθος των ιξώδων τάσεων έτσι ώστε η BDT μετακινείται προς τα κάτω και αντίστροφα (Σχήμα 14).

Η αντοχή της λιθόσφαιράς είναι θέμα ευρείας συζήτησης και αντιπαραβολών από τότε που καθορίστηκε ότι ένα δυνατό στρώμα υπέρκειται ενός αδύναμου, της ασθενόσφαιρας. Αυτό ήταν ουσιαστικό για την ανάπτυξη της τεκτονικής των πλακών και προκύπτει το βασικό, για την γεωλογία, ερώτημα του πως η αντοχή των λιθοσφαιρικών πλακών μεταβάλλεται τοπικά και χρονικά.

Μία αρχική προσέγγιση για την αντοχή στηρίζεται στο ενεργό ελαστικό πάχος της λιθόσφαιρας, Τe⁽⁹⁾, (Watts, 2001). Συγκρίνοντας παρατηρήσεις σχετικά με την καμπυλότητα σε περιοχές μακροχρόνιων φορτίων όπως πάγος, ιζήματα και ηφαίστεια, κατέστη δυνατή η εκτίμηση του Τe σε ένα ευρύ φάσμα γεωλογικών παραμέτρων. Έτσι υπολογίσθηκε ότι το Τe για την ωκεάνια κυμαίνεται μεταξύ 2 – 40χλμ. και εξαρτάται από το φορτίο και την ηλικία της πλάκας, ενώ για την ηπειρωτική το εύρος ήταν 0-100χλμ. χωρίς να είναι εφικτή η άμεση συσχέτιση με την ηλικία (Burov, 2010):

Ο υπολογισμός του Τe βασίζεται στις τιμές της αντοχής σε σχέση με το βάθος. Με το καθορισμό μίας YSE είναι εφικτό να προσδιορισθεί το μηχανικό πάχος κάθε στρώματος, το οποίο επεκτείνεται από τη κορυφή του στρώματος μέχρι το βάθος που σχετίζεται με συγκεκριμένη γεώθερμη (πχ 750⁰ για ολιβίνη και 350⁰ για χαλαζίτη), στην οποία το όριο ελαστικότητας είναι λίγο μικρότερο από μία προκαθορισμένη τιμή (πχ. 10 Mpa χρησιμοποίησε ο Ranalli, 1994). Επομένως τα λιθοσφαιρικά στρώματα θεωρούνται ασύνδετα όταν η αντοχή μειώνεται κάτω από αυτό το όριο και συνδεδεμένα –συγκολλημένα όταν η αντοχή αυξάνεται (Tesauro M. et. all, 2013).

Στις ωκεάνιες περιοχές οι περιβάλλουσες (YSE) είναι περίπου συμμετρικές στο επίπεδο της BDT όπου τα ευθραυστο-ελαστικά και τα ευπλαστο-ελαστικά σώματα συμβάλλουν το ίδιο στην αντοχή. Αν όμως και το Τe και η BDT υπερβαίνουν το μεσο πάχος του ωκεάνιου φλοιού (~7χλμ), τότε η μεγαλύτερη συμμετοχή στην αντοχή της ωκεάνιας λιθόσφαιρας προέρχεται από το μανδύα και όχι από το φλοιό.

Στις ηπείρους οι περιβάλλουσες είναι πιο πολύπλοκες και θα πρέπει να υπάρχουν περισσότερα του ενός εύθραυστα και εύπλαστα στρώματα. Παρόλα αυτά, οι Burov and Diament (1995) παρουσίασαν ένα μοντέλο (jelly-sandwich, JS) στο οποίο ένα αδύναμος κατώτερος φλοιός βρίσκεται μεταξύ ενός δυνατού ευθραυστο-ελαστικού ανώτερου φλοιού και ενός ευπλαστο-ελαστικού μανδύα, λαμβάνοντας υπόψη ένα μεγάλο εύρος τιμών του Te οι οποίες καταγραφτήκαν από ένα επίσης μεγάλο εύρος γεώθερμων και πάχη φλοιού της ηπειρωτικής λιθόσφαιρας.

Θεώρησαν ως σάντουιτς (JS) όλα τα μοντέλα που περιλαμβάνουν δυνατό στρώμα μανδύα και ένα αδύναμο στρώμα οπουδήποτε στο φλοιό. Στους κράτονες υπάρχει η πιθανότητα να είναι δυνατοί και ο φλοιός και ο μανδύας

________________________________________________________________________________-

[(9) Σύμφωνα με Cloetingh and Burov (1996), όταν η λιθόσφαιρα αποτελείται από n στρώματα ασύνδετα μεταξύ τους, το Τe καθορίζεται, με σταθερό το μέτρο Young, ως: (όπου Δhi είναι το πάχος του i στρώματος.)

όπου Ε_{0 =} 100GPa είναι η τιμή αναφοράς, Ε_1: ο μέσος όρος του μέτρου για όλα τα συνδεδεμένα στρώματα και

T_e1 : το συνολικό πάχος των συνδεδεμένων στρωμάτων].

 O Jackson (2002) θεώρησε το JS λανθασμένο και πρότεινε ένα μοντέλο με δυνατό φλοιό και μανδύα αδύναμο, στηριζόμενος σε σεισμολογικά στοιχεία, κυρίως των Ιμαλαῒων, όπου προκύπτει ότι οι σεισμοί στις ηπείρους περιορίζονται σε ένα μόνο στρώμα, στο ανώτερο τμήμα του ευθραύστου φλοιού, το οποίο χαρακτήρισε ως σεισμογενές πάχος (Ts) καθώς απουσιάζουν ή σπανίως παρουσιάζονται σεισμοί από τον υποκείμενο μανδύα. Το μοντέλο αυτό, οι Watts and Burov (2003), το ονόμασαν “crème brȗlée” (CB) και το οποίο αμφισβήτησαν με την υπόθεση ότι δεν υπάρχει ακόμη καθαρή μηχανική διεργασία που να δικαιολογεί το εν λόγω μοντέλο, δεδομένου ότι δεν αποδεικνύεται αν η σεισμική ολίσθηση συνδέεται με τη μακροχρόνια παραμόρφωση (Burov 2010).

Συνοπτικά, το μοντέλο JS χαρακτηρίζεται από ένα αδύναμο μέσο με κατώτερο φλοιό και ένα δυνατό μανδύα συστάσεως, κυρίως, άνυδρου ολιβίνη, ενώ το μοντέλο CB στηρίζεται σε αδύναμο μανδύα καθώς ο άνυδρος και εύθραυστος φλοιός καθορίζει την αντοχή της λιθόσφαιρας.

Επιπροσθέτως έχει υποστηριχθεί ότι η αντοχή της λιθόσφαιρας μειώνεται σημαντικά κατά μήκος των περιθωρίων των πλακών λόγω των διαφόρων διεργασιών εξασθένησης οι οποίες επιδρούν στη θερμότητα στη ροή και στο ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης. Το μοντέλο αυτής της πλευρικής μείωσης της αντοχής το αναφέρουν οι Burgmann & Dresen (2008) ως banana split (snack bar το κάναμε εδώ μέσα). Αν και δεν υπάρχει ένα βασικό μοντέλο για τις ηπείρους, κατάλληλο για την παραμετροποίηση της μακροχρόνιας αντοχής της λιθόσφαιρας, το JC θεωρείται ότι καλύπτει το μεγαλύτερο ποσοστό της κατανομής των σεισμών που είναι σε καλή συμφωνία με μία ρεολογικά στρωματοποιημένη λιθόσφαιρα (ωκεάνια και ηπειρωτική).

Στο Σχήμα 15 απεικονίζονται σε αντιπαραβολή τα δύο μοντέλα μακροχρόνιας αντοχής της ηπειρωτικής λιθόσφαιρας (Burov and Watts 2006). Στο μοντέλο της κρέμας (CB) η αντοχή περιορίζεται στο ανώτερο εύθραυστο στρώμα του φλοιού και η αντιστάθμιση επιτυγχάνεται κυρίως από τη ροή στον αδύναμο μανδύα. Στο σάντουιτς (JS) ο μανδύας είναι δυνατός και η αντιστάθμιση για τα βάρη επιφανείας λαμβάνει χώρα, κυρίως, στην υποκείμενη ασθενόσφαιρα

a) Μοντέλα παραμόρφωσης: τα βέλη δείχνουν τη ταχύτητα ροής του πεδίου.

b) Brace-Goetze περιβάλλουσες αστοχίας για τη θερμοτεκτονική ηλικία των 150Μa όπου έχουμε είτε άνυδρο είτε ένυδρο μανδύα ολιβίνη σε σταθερό ρυθμό στρεβλωτικής παραμόρφωσης. hm είναι ο βραχυχρόνιος μηχανισμός παχύτητας της λιθόσφαιρας και Te το ενεργό ελαστικό πάχος. Οι δύο YSE έχουν πάχος 20χλμ.

c) Brace-Goetze περιβάλλουσες αστοχίας για τη θερμοτεκτονική ηλικία των 500Μa. Οι δύο YSE παρουσιάζουν άλλα πιθανά ρεολογικά μοντέλα: σ’ ένα, ο ανώτερος και ο κατώτερος φλοιός είναι δυνατοί και ο μανδύας αδύναμος (πάνω σχήμα) και στο άλλο ο ανώτερος, ο κατώτερος φλοιός και ο μανδύας είναι δυνατοί (Burov and Diament, 1995).

Σημειώνεται ότι, για την ηπειρωτική λιθόσφαιρα η ρεολογική στρωματοποίηση μπορεί να γίνει πιο πολύπλοκη αν τηγμένα πετρώματα στο κατώτερο φλοιό είναι αρκετά αδύναμα με αποτέλεσμα τον διαχωρισμό στρωμάτων με αντικρουόμενες ρεολογίες. Μ’ αυτό τον τρόπο φαίνεται ότι μπορεί να συμπεριληφθούν πολλές στρώσεις με διαφορετικά πρότυπα αντοχής, το οποίο έχει ως συνέπεια, λόγω των πολλών παραμέτρων, να μην είναι εφικτή  μια δεδομένη αντοχή για την ηπειρωτική λιθόσφαιρα.

Στο Σχήμα 16 παρουσιάζονται παραδείγματα ρεολογικών YSE  για ωκεανούς (Goetze and Evans, 1979) και ηπείρους (Burov and Diament, 1995), ως συναρτήσεις της θερμοτεκτονικής ηλικίας. Η κύρια διαφορά μεταξύ ωκεάνιας και ηπειρωτικής λιθόσφαιρας έγκειται στο πάχος του φλοιού και στη πολυστρωματική δομή του ηπειρωτικού φλοιού, όπου μπορεί να οδηγήσει σε μηχανικό διαχωρισμό ανάμεσα στα ρεολογικά στρώματα και στην οριζόντια εύθραυστη ροή στον ενδιάμεσο με κατώτερο  φλοιό. Τα εικονίδια δεξιά απεικονίζουν διαφορετικές εκδοχές των ηπειρωτικών YSE: Κρατονικό σάντουιτς (δυνατός κατώτερος φλοιός συνδέεται με δυνατό μανδύα), κλασσικό σάντουιτς (δυνατός φλοιός διαχωρίζεται από δυνατό μανδύα) και τέλος κρεμούλα (πολύ αδύναμος μανδύας).

Σε συνέχεια των παραπάνω gourmet-μοντέλων, οι Tesauro, Kaban & Cloetingh (2013), για τη παγκόσμια κατανομή της αντοχής, θεωρούν, ομοίως, ότι η ηπειρωτική λιθόσφαιρα αποτελείται από ένα μηχανικά σκληρό ανώτερο φλοιό, τον οποίο ένας αδύναμος κατώτερος φλοιός διαχωρίζει από τη δυνατή ανώτερη μανδυακή λιθόσφαιρα, η οποία με τη σειρά της υπέρκειται μία αδυνάμου κατώτερης μανδυακής λιθόσφαιρας. Επομένως η αντοχή της ηπειρωτικής λιθόσφαιρας εξαρτάται από το πάχος και τη σύνθεση του φλοιού, από τη θερμοκρασία του μανδύα, από τη παρουσία ή απουσία ρευστών και από τη στρεβλωτική παραμόρφωση. Αντίθετα η ωκεάνια λιθόσφαιρα αποτελείται από λεπτό φλοιό ο οποίος υπέρκειται της μανδυακής λιθόσφαιρας και συνεπώς η αντοχή της εξαρτάται από τη κατανομή της θερμοκρασίας.

Επανυπολόγισαν το ενεργό ελαστικό πάχος (Te) λαμβάνοντας υπόψη μεταβολές του μέτρου Young εντός της λιθόσφαιρας, διατυπώνοντας έτσι δύο ρεολογικά μοντέλα: ένα για σκληρό ηπειρωτικό φλοιό, HRM (Hard Rheological Model) και ένα για μαλακό, SRM (Soft) όπου το σύνολο σχεδόν της αντοχής εντοπίζεται στο φλοιό για το HRM και στο μανδύα για το SRM.

Στο SRM παρουσιάζονται ζώνες πολύ υψηλής αντοχής  στα εσωτερικά τμήματα των κρατόνων, ενώ στο HRM αυτές οι περιοχές είναι περισσότερο εκτεταμένες και συμπεριλαμβάνουν ολόκληρους κράτονες και τις παρακείμενες περιοχές (Σχ.17).

Για το SRM η περίπτωση, κατά την οποία τα στρώματα φλοιού είναι ασύνδετα και του κατώτερου είναι συνδεδεμένα με τον μανδύα, δεν υπάρχει λόγω της έλλειψης αντοχής του κατώτερου φλοιού σε περιοχές που χαρακτηρίζονται από ένα μέσο εως υψηλό θερμικό καθεστώς. Παρομοίως δεν εντοπίστηκε στο HRM η περίπτωση κατά την οποία τα στρώματα του φλοιού είναι συνδεδεμένα και ο κατώτερος φλοιός είναι ασύνδετος από το μανδύα. Από αυτά προκύπτει ότι ο κατώτερος φλοιός είναι ασύνδετος από το μανδύα όταν τα στρώματα φλοιού είναι ασύνδετα μεταξύ τους. Αυτή η κατάσταση απαντάται μόνο σε περιοχές που χαρακτηρίζονται από παχύ φλοιό και υψηλές θερμοκρασίες (Άνδεις, Θιβέτ). Επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για το SRM, οι περιοχές αντοχής βρίσκονται στον μανδύα και το «σάντουιτς» είναι το πλέον κατάλληλο μοντέλο αφού ο ανώτερος μανδύας είναι δυνατότερος από τον φλοιό και ο κατώτερος φλοιός είναι το πλέον αδύναμο στρώμα.

Για το ΗRM, όλα τα στρώματα είναι δυνατά και συνδεδεμένα στις περισσότερες ηπειρωτικές περιοχές και η αντοχή κατανέμεται στην ολότητα της λιθόσφαιρας. Επομένως σ’ αυτές τις περιοχές το HRM αυξάνει τη συμμετοχή των στρωμάτων του φλοιού (και ειδικά του κατώτερου) στην αντοχή και στο Te, αλλά η συνεισφορά του μανδύα παραμένει ως η πλέον σημαντική. Το μοντέλο της «κρέμας», όπου ο μανδύας είναι αδύναμος και η αντοχή συγκεντρώνεται, κυρίως, στο φλοιό (συγκεκριμένα στο πλέον ανώτερο τμήμα όπου εντοπίζονται οι σεισμοί), συνάδη σε περιοχές που έχουν ένα πολύ λεπτό φλοιό και χαρακτηρίζονται από υψηλές θερμοκρασίες.  

Από τη συγκριτική ανάλυση του Te μεταξύ των δύο μοντέλων, προκύπτει ότι το HRM είναι χαρακτηριστικό των κρατονικών περιοχών, ενώ το SRM είναι πιο αντιπροσωπευτικό για τις πρόσφατες ορογενέσεις.

Β. Ανδρώνης

Αναφορές

Allmendinger Richard W: Modern Structural Practice: A structural geology laboratory manual for the 21st Century. Cornell Univ. v. 1.9.0, 2015-2019

Anderson, E.M., 1951. The dynamics of faulting and dyke formation with applications to Britain, 2nd Edition, Oliver & Boyd, Edinburgh.

Albert Richard A, Phillips Roger J., Dombard Andrew J. & Brown C. David: A test of the validity of yield strength envelopes with an elastoviscoplastic finite element model. Geophys. J. Int. (2000) 140, 399–409

Babu Bijish (Licentiate Thesis 2008): Physically Based Model for Plasticity and Creep of Ti6Al4V.

Lulea University of Technology Department of Applied Physics and Mechanical Engineering Division of Material Mechanics 2008:40, ISSN 1402-1757

Birge Boris I (2012): Transient creep and convective instability of the lithosphere Geophysical Journal International (2012) 191, 909–922

Bonora Nicola, Esposito Luca: Transient creep modeling based on the dependence of the activation energy on the internal stress. N. Bonora et alii, Cassino (FR), Italia, 13-15 Giugno 2011; ISBN 978-88-95940-36-6

Brace, W. F. and Kohlstedt, D. L., 1980: Limits on lithospheric stress imposed by laboratory experiments: Journal of Geophysical Research, v. 85, p. 6248–6252.

Burg Jean-Pierre – 2019: Script to Tectonics, ETH Zürich Geologisches Institut.

Bürgmann R. and Dresen G.: Rheology of the Lower Crust and Upper Mantle, Annual Review of Earth and Planetary Sciences Vol. 36, 2008

Burov and Watts T 2006: The long-term strength of continental lithosphere: “jelly sandwich” or “crème brûlée”? GSA Today January 2006.

Burov Eugene B (2010): The equivalent elastic thickness (Te), seismicity and the long-term rheology of continental lithosphere: Time to burn-out “crème brûlée”? Insights from large-scale geodynamic modeling. Tectonophysics 484, 4-26.

Burov Eugene B (2011): Rheology and strength of the lithosphere. Marine and Petroleum Geology 25 1402-1443

Burov E B & Diament M (1995): The effective elastic thickness (Te) of continental lithosphere: What does it really mean? Journal of Geophysical Research, Vol. 100, No. B3, 3905-3927, March 10, 1995

Byerlee, J., 1978: Friction of rocks. Pure and Applied Geophysics, v. 116, p.615-626.July 1978.

Carrez, P. & Cordier, P. (2010): Modeling dislocations and plasticity of deep earth materials. Reviews in Mineralogy and Geochemistry, 71(1), 225-­‐251.

Coble, Robert L. (15 October 1962):"A Model for Boundary Diffusion Controlled Creep in Polycrystalline Materials”. Journal of Applied Physics.

Courtney, Thomas (1990): Mechanical Behavior of Materials: Solutions Manual to Accompany. New York: McGraw-Hill, Inc.

Da Huang, Yanrong Li (2014): Conversion of strain energy in Triaxial Unloading Tests on Marble. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences Feb 2014, vol.66

Davoudi Kamyar M. & Vlassak Joost J. (2018): Dislocation Evolution during Plastic Deformation: Equations vs. Discrete Dislocation Simulations. (School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University, Cambridge, MA USA) Journal of Applied Physics 123, 085302

Donath, Fred A.: Some Information Squeezed Out of a Rock, American Scientist, Vol.8, Iss.1, p.54-72.

Elbeshausen Dirk `1 and Melosh H. Jay: A nonlinear and time dependent viscoelastic‐plastic rheology model for studying shock-physics phenomena, Cornell University arXiv: 1805.06453

Goetze, C., & Evans, B.  (1979): Stress and temperature in the bending lithosphere as constrained by experimental rock mechanics. Geophysical Journal International, 59(3), 463-­‐478.

Goetze, C. (1978): The Mechanisms of Creep in Olivine. Royal Society of London Philosophical Transactions Series A, 288, 99-­‐119.

Graham J, Crookst J. H. A. & Lau S. (1988): Yield envelopes: identification and geometric properties. Geotechnique, 38 No. l, 125-134

Herring, Conyers (1950): "Diffusional Viscosity of a Polycrystalline Solid". Journal of Applied Physics.21 (5): 437.,

Hirth, G. & Kohlstedt, D. (2003): Rheology of the upper mantle and the mantle wedge: A view from the experimentalists. Geophysical Monograph Series, 138, 83-­‐105.

Jackson James (2002): Strength of the continental lithosphere: Time to abandon the jelly sandwich? September 2002, GSA Today.

McBirney Alexander R & Murase Tsutomu (1884): Rheological Properties of Magmas. Annual Review of Earth and Planetary Sciences Vol. 12:337-357

McKenzie Dan, Jackson James, Priestley Keith (2005): Thermal structure of oceanic and continental lithosphere. Earth and Planetary Science Letters 233 (2005) 337– 349

McKenzie Dan, Jackson James, Priestley Keith & Emmerson Brian (2008): New views on the structure and rheology of the lithosphere. Journal of the Geological Society, London, Vol. 165, 2008, pp. 453–465.

Keralavarma Shyam M, Cagin T.A. Arsenlis, and A. Amine Benzerg (2018): Power–Law Creep from Discrete Dislocation Dynamics. Physical Review Letters, December 2012

King Scott D (1995): The viscosity structure of the mantle. Reviews of Geophysics Vol.33, Issue S1 July 1995 pages 11-17

Klausner Yehuda: Fundamentals of Continuum Mechanics of Soils, Spinger Verlag London Ltd. 1991

Melosh, H. J. (1980). Rheology of the Earth: Theory and observation. Physics of the Earth's Interior, 318-­‐336.

Micha Peleg, Mark D. Normand & Maria G. Corradini (2012): The Arrhenius Equation Revisited, Critical Reviews in Food Science and Nutrition, 52:9, 830-851

Ojediran S.O. & Ajaja O. (1988): The Bailey-Orowan equation. Journal of Materials Science 23 (1988) 4034-4040

Paterson and Luan (1990): Quartzite rheology under geological conditions in Deformations Mechanics, Rheology and Tectonics, (eds R.J. Knipe and E.H.Rutter) Geol. Soc. London, Spec. Publ.54, 299-308

Pluijm Van der, Ben Marshak Stephen 2004:.Earth Structure, Norton & Company, Inc.

Raleigh Barry C & Kirby Stephen (1970): Creep in the upper mantle. Mineral. Soc. Amer. SPec. Pap. 3, 113-121 (1970).

Ranalli, G., 1994: Nonlinear flexure and equivalent mechanical thickness of the lithosphere. Tectonophysics 240 (107–1), 14.

Rey Patrice F: Introduction to Tectonophysics

Rey Patrice F: Introduction to Structural Geology

Schöpfer Martin P. J, Conrad Childs & Manzocchi1 Tom (2013): Three-dimensional failure envelopes and the brittle-ductile transition. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, Vol. 118, 1378–1392,

Sibson, R.H., 1974: Frictional constraints on thrust, wrench and normal faults. Nature, 249: 542-544.

Stüwe Kurt 2002: Geodynamics of the Lithosphere, Springer Nature Switzerland AG.

Shutov A.V, Silbermann C.B, Ihlemann J (2014): Ductile damage model for metal forming simulations including refined description of void nucleation. Cornell Univ.arXiv:1407.3586

Tesauro Magdala, Kaban Mikhail K. & Cloetingh Sierd A.P.L (2013): Global model for the lithospheric strength and effective elastic thickness. Tectonophysics 602 (2013) 78–86

Turcotte D.L, Schubert (2002): Geodynamics, Cambridge Univ. Press

Varnes David: Analysis of Plastic Deformation According to Von Mises' Theory With Application to the South Silverton Area, San Juan County, Colorado. Geological Survey Professional, Paper 378, U.S. Government Printing Office, Washington, 1962

Watts, A.B., 2001: Isostasy and Flexure of the Lithosphere. Cambridge University Press,

Weertman, J: The creep strength of the Earth’s mantle, Reviews of Geophysics. Vol 8. Issue 1, February 1970 pages 145-168.

Weertman, J: Creep Deformation of Ice. Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 1983. 11:215-240